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Auf Gruppe untersuchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Mi 08.02.2012
Autor: durden88

Aufgabe
Sei a*b=ab+a+b auf den reelen Zahlen [mm] \IR [/mm] Verknüpfung. Überprüfen sie ob damit [mm] (\IR,*) [/mm] eine Gruppe ist.

Hallo,

ich fang mal an:

1)Abgeschlossenheit: Ja das passt, denn [mm] a,b\in \IR [/mm] so ist auch die addition dieser in [mm] \IR, [/mm] richtig?
2) Assoziativgesetz: Jau passt auch, da die Addition assoziativ ist, richtig?
3)Neutrales Element: Also, da wurde mir nahe gelegt es erstmal nur mit a zu machen. n ist definiert als mein neutrales Element, sodass gilt: a*n=a

Jetzt wurde das b=n, sodass a*n=an+a+n, dann wude ein Teil der Summanden genommen: an+n=n(a+1)=0, sodass für a=-1 das neutrale Element=0 ist.

Da verstehe ich zwei Dinge nicht: Wieso durfte ich mein b aufeinmal durch das n ersetzen? Ist das zuässig?

Jetzt hab ich für a=-1, dass 0 das neutale Element ist. Bin ich damit fertig, oder muss ich für a=-1 noch etwas machen?

Inverses Element: Dafür brauch ich ja mein neutrales Element, richtig? Denn es sollte gelten a*a(invers)= Neutrales Element=0, richtig? Das hab ich ausgerechnet und wieder a=-1 heraus beommen. Was muss ich denn mit dem a=-1 machen?

Wenn ich zusätzlich auf eine abelsche Gruppe untersuchen möchte, so muss die Verknüpfung auch kommutativ sein, also vertauschbar sein, richtig´? So und da die Verknüpfung eine Addition ist, ist es auch eine abelsche Gruppe, richtig?

So vielen Dank im Voraus!

        
Bezug
Auf Gruppe untersuchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Mi 08.02.2012
Autor: fred97


> Sei a*b=ab+a+b auf den reelen Zahlen [mm]\IR[/mm] Verknüpfung.
> Überprüfen sie ob damit [mm](\IR,*)[/mm] eine Gruppe ist.
>  Hallo,
>  
> ich fang mal an:
>  
> 1)Abgeschlossenheit: Ja das passt, denn [mm]a,b\in \IR[/mm] so ist
> auch die addition dieser in [mm]\IR,[/mm] richtig?

Du meinst die Summe ? Vergiß das Produkt nicht.


>  2) Assoziativgesetz: Jau passt auch, da die Addition
> assoziativ ist, richtig?

... und die Multiplikation in [mm] \IR [/mm]

Hast Du es wirklich nachgerechnet ?


>  3)Neutrales Element: Also, da wurde mir nahe gelegt es
> erstmal nur mit a zu machen. n ist definiert als mein
> neutrales Element, sodass gilt: a*n=a


Also zeige: es gibt ein n mit a*n=a  für jedes (!) a.

>  
> Jetzt wurde das b=n, sodass a*n=an+a+n, dann wude ein Teil
> der Summanden genommen: an+n=n(a+1)=0, sodass für a=-1 das
> neutrale Element=0 ist.

Was soll das mit a=-1 ?

Es soll gelten: a*n=a  für jedes (!) a.  Welches n leistet das ?

>  
> Da verstehe ich zwei Dinge nicht: Wieso durfte ich mein b
> aufeinmal durch das n ersetzen? Ist das zuässig?

Die Frage verstehe ich nicht.


>  
> Jetzt hab ich für a=-1, dass 0 das neutale Element ist.
> Bin ich damit fertig, oder muss ich für a=-1 noch etwas
> machen?

??? S. o.


>  
> Inverses Element: Dafür brauch ich ja mein neutrales
> Element, richtig?

Jaaaaaa


> Denn es sollte gelten a*a(invers)=
> Neutrales Element=0, richtig? Das hab ich ausgerechnet und
> wieder a=-1 heraus beommen. Was muss ich denn mit dem a=-1
> machen?


?????  Die Frage ist: gibt es zu jedem a ein [mm] a^{-1} [/mm] mit: [mm] a*a^{-1}=0 [/mm]   ??

>  
> Wenn ich zusätzlich auf eine abelsche Gruppe untersuchen
> möchte, so muss die Verknüpfung auch kommutativ sein,
> also vertauschbar sein, richtig´? So und da die
> Verknüpfung eine Addition


Da wird auch multipliziert !

FRED

>   ist, ist es auch eine abelsche
> Gruppe, richtig?
>  
> So vielen Dank im Voraus!  


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