Auf Stetigkeit prüfen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist folgende Funktion stetig?
$f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
[mm] $f_1(x)=\begin{cases} \bruch{x^3+3}{x}, x > 0 \\ 3(x+1)^2, x \le 0 \end{cases}$ [/mm] |
Hi,
wie kann ich prüfen ob die folgende Funktion stetig ist? Ich hab wirklich keinen Ansatz dazu! Ich hatte solche Aufgaben noch nicht gerechnet.
Ich weiß aber was steht ist, stetig ist, wenn eine Funktion nicht springt und keine Lücken/Sprungstellen hat sondern zu jedem x-Wert ein Funktionswert (y-Wert) existiert.
Könnte mir jemand ein Tipp geben?
Danke
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Betrachte bzw. bestimme die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitg) an der Nahtstelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ :
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f_1(x)$ [/mm] und [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f_1(x)$
[/mm]
Wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen (und auch mit dem Funktionswert [mm] $f_1(x_0) [/mm] \ = \ [mm] f_1(0) [/mm] \ = \ ...$) , ist die Funktion stetig.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Ist folgende Funktion stetig?
$f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
[mm] $f_1(x)=\begin{cases} \bruch{x^3+3}{x}, x > 0 \\ 3(x+1)^2, x \le 0 \end{cases}$ [/mm] |
Hi Loddar,
> Hallo Thomas!
>
>
> Betrachte bzw. bestimme die beiden Grenzwerte (linksseitig
> und rechtsseitg) an der Nahtstelle [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] :
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f_1(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f_1(x)[/mm]
>
>
> Wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen (und auch mit
> dem Funktionswert [mm]f_1(x_0) \ = \ f_1(0) \ = \ ...[/mm]) , ist
> die Funktion stetig.
>
>
> Gruß
> Loddar
Also ich bestimme erst mal den
Rechtsseitiger Grenzwert (x>0):
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^3+3}{x}$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} x^2+3*\green{\bruch{1}{x}}$
[/mm]
[mm] $x^2+3*\green{0}$
[/mm]
Stimmt dieser Schritt? Ich bin mir nicht 100%ig sicher
[mm] $0^2+3*0$
[/mm]
[mm] $\red{=0}$ [/mm] Rechtsseitiger Grenzwert
Linksseitiger Grenzwert ($x [mm] \le [/mm] 0$):
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} 3(x+1)^2$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} 3(x^2+2x+1)$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} 3x^2+6x+3$
[/mm]
[mm] $3*0^2+6*0+3$
[/mm]
[mm] $\red{= 3}$ [/mm] Linksseitiger Grenzwert
--> Die Funktion ist nicht Stetig, da die beiden Grenzwerte ungleich sind!
Jetzt habe ich aber noch eine Frage zu deiner Aussage:
> Wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen (und auch mit
> dem Funktionswert [mm]f_1(x_0) \ = \ f_1(0) \ = \ ...[/mm]) , ist
> die Funktion stetig.
Was meinst du mit dem Funktionswert? Also kannst du da ein Beispiel machen, dass ich weiß was ich da einsetzen müsste?
Danke
Grüße Thomas
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Hallo Thomas,
> Also ich bestimme erst mal den
>
>
> Rechtsseitiger Grenzwert (x>0):
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^3+3}{x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x^2+3*\green{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> [mm]x^2+3*\green{0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn x gaaaanz nah an 0 ist, aber immer noch >0, so ist doch [mm] \frac{1}{x} [/mm] riesengroß, dh. [mm] \frac{1}{x}\to\infty [/mm] für [mm] x\to [/mm] 0
>
> Stimmt dieser Schritt? Ich bin mir nicht 100%ig sicher
leider nicht
>
> [mm]0^2+3*0[/mm]
>
> [mm]\red{=0}[/mm] Rechtsseitiger Grenzwert
>
>
>
>
>
> Linksseitiger Grenzwert ([mm]x \le 0[/mm]):
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 3(x+1)^2[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 3(x^2+2x+1)[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 3x^2+6x+3[/mm]
>
> [mm]3*0^2+6*0+3[/mm]
>
> [mm]\red{= 3}[/mm] Linksseitiger Grenzwert ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> --> Die Funktion ist nicht Stetig, da die beiden Grenzwerte
> ungleich sind!
>
>
>
> Jetzt habe ich aber noch eine Frage zu deiner Aussage:
>
> > Wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen (und auch mit
> > dem Funktionswert [mm]f_1(x_0) \ = \ f_1(0) \ = \ ...[/mm]) , ist
> > die Funktion stetig.
>
> Was meinst du mit dem Funktionswert? Also kannst du da ein
> Beispiel machen, dass ich weiß was ich da einsetzen
> müsste?
Bleiben wir bei deinem Bsp.: Der Funktionswert an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] ist [mm] f(0)=3(0+1)^2=3
[/mm]
Dh. der linksseitige GW stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] überein, nur leider der rechtsseitige nicht
Kennst du das Folgenkriterium der Stetigkeit?
Das besagt folgendes:
Eine Fkt [mm] f:I\to\IR [/mm] (oder [mm] \IC) [/mm] ist in [mm] x_0 [/mm] stetig, wenn für [mm] \underline{jede} [/mm] Folge [mm] a_n [/mm] mit [mm] a_n\in [/mm] I und [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n=x_0 [/mm] gilt: [mm] \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)
[/mm]
Danach kann man die Unstetigkeit relativ einfach nachweisen, indem man 2 Folgen [mm] a_n,b_n [/mm] bastelt, die hier in deinem Bsp gegen [mm] x_0=0 [/mm] konvergieren, aber [mm] \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)\ne [/mm] f(0)=3 und/oder [mm] \lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)\ne [/mm] 3
Dazu schau dir mal eine Folge [mm] a_n [/mm] an, die von oben - also rechtsseitig - gegen Null geht und eine Folge [mm] b_n, [/mm] die von unten kommend gegen Null geht, wo aber [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n\ne\lim\limits_{n\to\infty}b_n [/mm] ist
Tip: die einfachsten Nullfolgen sind oft die besten 
>
> Danke
>
Jo
>
> Grüße Thomas
Ebenfalls
schachuzipus
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| Aufgabe | Ist folgende Funktion stetig?
$f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
[mm] $f_1(x)=\begin{cases} \bruch{x^3+3}{x}, \red{x > 0} \\ 3(x+1)^2, \red{x \le 0} \end{cases}$ [/mm] |
Hi schachuzipus,
vielen Dank für das ausführliche Erklären. Ich habe jetzt nochmal eine aller letzte Frage um ganz sicher zu gehen dass ich das wirklich verstanden habe.
1. Ich muss den Rechtsseitigen und Linksseitigen Grenzwert der Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] bestimmen.
2. In dem Beispiel war das [mm] $x_0=0$ [/mm] da die Funktion an der ( in der Aufgabenstellung rot markiert) 0-Stelle ihren "Umbruch hat". Würde oben in der Aufgabenstellung anstatt der rot markierten Nullen eine 2 stehen, wäre [mm] $x_0=2$ [/mm] oder?
3. Danach vergleiche ich, ob der Rechtsseitige (RSG) und Linksseitige Grenzwert (LSG) GLEICH sind .
4. Wenn RSG = LSG --> dann ist die Funktion stetig.
5. Wenn RSG ungleich LSG dann ist die Funktion NICHT stetig.
6. Im Anschluss setze ich den Rechtsseitigen Grenzwert in die "rechtsseitige Funktion" ein und sehe nach ob der RSG = dem eingesetzten Funktionswert. Ist dies der Fall ist die Funktion stetig, ansonsten nicht!
7. Im Anschluss setze ich den Linksseitgen Grenzwert in die "linksseitige Funktion" ein und sehe nach ob der LSG = dem eingesetzten Funktionswert. Ist dies der Fall ist die Funktion stetig, ansonsten nicht!
8. Falls eines dieser Punkte (4, 5, 6, 7) NICHT erfüllt ist, dann ist die Funktion nicht stetig.
Stimmt das so zusammengefasst?
Danke
Grüße Thomas
> Hallo Thomas,
>
>
>
>
> > Also ich bestimme erst mal den
> >
> >
> > Rechtsseitiger Grenzwert (x>0):
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^3+3}{x}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x^2+3*\green{\bruch{1}{x}}[/mm]
> >
> > [mm]x^2+3*\green{0}[/mm]
>
> Wenn x gaaaanz nah an 0 ist, aber immer noch >0, so ist
> doch [mm]\frac{1}{x}[/mm] riesengroß, dh. [mm]\frac{1}{x}\to\infty[/mm] für
> [mm]x\to[/mm] 0
>
> >
> > Stimmt dieser Schritt? Ich bin mir nicht 100%ig sicher
>
> leider nicht
>
> >
> > [mm]0^2+3*0[/mm]
> >
> > [mm]\red{=0}[/mm] Rechtsseitiger Grenzwert
> >
> >
> >
> >
> >
> > Linksseitiger Grenzwert ([mm]x \le 0[/mm]):
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 3(x+1)^2[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 3(x^2+2x+1)[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 3x^2+6x+3[/mm]
> >
> > [mm]3*0^2+6*0+3[/mm]
> >
> > [mm]\red{= 3}[/mm] Linksseitiger Grenzwert
> >
> >
> >
> > --> Die Funktion ist nicht Stetig, da die beiden Grenzwerte
> > ungleich sind!
> >
> >
> >
> > Jetzt habe ich aber noch eine Frage zu deiner Aussage:
> >
> > > Wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen (und auch mit
> > > dem Funktionswert [mm]f_1(x_0) \ = \ f_1(0) \ = \ ...[/mm]) , ist
> > > die Funktion stetig.
> >
> > Was meinst du mit dem Funktionswert? Also kannst du da ein
> > Beispiel machen, dass ich weiß was ich da einsetzen
> > müsste?
>
> Bleiben wir bei deinem Bsp.: Der Funktionswert an der
> Stelle [mm]x_0=0[/mm] ist [mm]f(0)=3(0+1)^2=3[/mm]
>
> Dh. der linksseitige GW stimmt mit dem Funktionswert an der
> Stelle [mm]x_0=0[/mm] überein, nur leider der rechtsseitige nicht
>
> Kennst du das Folgenkriterium der Stetigkeit?
>
> Das besagt folgendes:
>
> Eine Fkt [mm]f:I\to\IR[/mm] (oder [mm]\IC)[/mm] ist in [mm]x_0[/mm] stetig, wenn für
> [mm]\underline{jede}[/mm] Folge [mm]a_n[/mm] mit [mm]a_n\in[/mm] I und
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=x_0[/mm] gilt:
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)[/mm]
>
> Danach kann man die Unstetigkeit relativ einfach
> nachweisen, indem man 2 Folgen [mm]a_n,b_n[/mm] bastelt, die hier in
> deinem Bsp gegen [mm]x_0=0[/mm] konvergieren, aber
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)\ne[/mm] f(0)=3 und/oder
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)\ne[/mm] 3
>
> Dazu schau dir mal eine Folge [mm]a_n[/mm] an, die von oben - also
> rechtsseitig - gegen Null geht und eine Folge [mm]b_n,[/mm] die von
> unten kommend gegen Null geht, wo aber
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n\ne\lim\limits_{n\to\infty}b_n[/mm]
> ist
>
> Tip: die einfachsten Nullfolgen sind oft die besten
>
>
> >
> > Danke
> >
> Jo
> >
> > Grüße Thomas
>
>
> Ebenfalls
>
> schachuzipus
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Hallo Thomas,
> 1. Ich muss den Rechtsseitigen und Linksseitigen Grenzwert
> der Funktion an der Stelle [mm]x_0[/mm] bestimmen.
Nach der Definition der Stetigkeit in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] musst du zeigen, dass der GW für [mm] x\to x_0 [/mm] von f(x) existiert und = [mm] f(x_0) [/mm] ist, also in Zeichen
[mm] \exists \lim\limits_{x\to x_0}f(x) [/mm] und [mm] \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
[/mm]
Das ist äquivalent zur Existenz der rechtsseitigen und linksseitigen GW und der Übereinstimmung der beiden mit [mm] f(x_0)
[/mm]
Das Verfahren mit dem links - und rechtsseitigen GW eignet sich meist gut, um UNstetigkeit zu zeigen
>
> 2. In dem Beispiel war das [mm]x_0=0[/mm] da die Funktion an der (
> in der Aufgabenstellung rot markiert) 0-Stelle ihren
> "Umbruch hat".
Ja genau, beide "Funktionsteile" sind an allen anderen Stellen ihres Definitionsbereiches als Zusammensetzung von stetigen Funktionen wieder stetig
Würde oben in der Aufgabenstellung anstatt
> der rot markierten Nullen eine 2 stehen, wäre [mm]x_0=2[/mm] oder?
>
> 3. Danach vergleiche ich, ob der Rechtsseitige (RSG) und
> Linksseitige Grenzwert (LSG) GLEICH sind . [ja] das ist notwendige Bedingung
>
> 4. Wenn RSG = LSG --> dann ist die Funktion stetig. nur, wenn der [mm] RGS=LGS=f(x_0) [/mm] ist!!!
>
> 5. Wenn RSG ungleich LSG dann ist die Funktion NICHT
> stetig.
>
> 6. Im Anschluss setze ich den Rechtsseitigen Grenzwert in
> die "rechtsseitige Funktion" ein und sehe nach ob der RSG =
> dem eingesetzten Funktionswert. Ist dies der Fall ist die
> Funktion stetig, ansonsten nicht! halb
>
> 7. Im Anschluss setze ich den Linksseitgen Grenzwert in die
> "linksseitige Funktion" ein und sehe nach ob der LSG = dem
> eingesetzten Funktionswert. Ist dies der Fall ist die
> Funktion stetig, ansonsten nicht!
>
>
> 8. Falls eines dieser Punkte (4, 5, 6, 7) NICHT erfüllt
> ist, dann ist die Funktion nicht stetig.
>
>
> Stimmt das so zusammengefasst?
Fast, aber noch nicht ganz.
Ich halte nochmal fest.
NOTWENDIG ist, dass LGS=RGS in [mm] x_0, [/mm] dh, falls LGS oder RGS nicht existieren oder sie verschieden sind, kann die Funktion in diesem
Punkt [mm] x_0 [/mm] NICHT stetig sein.
Es müssen also [mm] \underline{beide} [/mm] GW existieren und dem Funktionswert [mm] f(x_0) [/mm] entsprechen!!
Das "Rumgemache" mit den beidseitigen GWen ist - wie oben schon erwähnt - oft nützlich, um Unstetigkeit zu zeigen.
Es gibt aber auch Sätze, die einem das Rechnen mit stetigen Funktionen erleichtern, so sind zB die Summe und das Produkt stetiger Funktionen wieder stetig - also sind alle Polynome stetig...
Um aber den expliziten Nachweis der Stetigkeit einer Funktion f an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] zu erbringen, musst du schauen, ob
(1) [mm] \lim\limits_{x\to x_0} [/mm] f(x) existiert UND
(2) ob [mm] \lim\limits_{x\to x_0}=f(x_0) [/mm] ist
Und das kannst du entweder mit der formalen [mm] \varepsilon,\delta [/mm] - Definition machen: [mm] \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall 0<|x-x_0|<\delta: |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm]
oder mit den beidseitigen GWen machen - oder mit
der Folgenstetigkeit, die ich im anderen post erwähnt habe.
Entschuldige, wenn ich mich jetzt ein paar mal wiederholt habe, aber ich fand's wichtig zu erwähnen
schönen Abend noch
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:44 Do 31.05.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi schachuzipus,
danke nochmal für deine Geduld und das nachsehen. Ich hab das jetzt verstanden und werde noch so 3 Aufgaben rechnen und posten.
Danke Grüße Thomas
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