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| Aufgabe | Sei [mm] \psi [/mm] die Wellenfunktion eines Teilchens mit folgender Form:
[mm] \psi(x)\thicksim\begin{cases}
0, & x<0\\
\mbox{exp}(-\frac{\lambda}{2}x), & x\geq0\end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie den mittleren Aufenthaltsort [mm] \left\langle x\right\rangle [/mm] sowie die Schwankung [mm] \Delta [/mm] x.
Warum kann diese Wellenfunktion nicht Lösung der Schrödingergleichung sein? |
Hallo,
ich suche nun schon seit einiger Zeit nach Formeln für den mittleren Aufenthaltsort und die Schwankung, bin aber immer noch nicht fündig geworden und verzweifele langsam. Kann es sein, dass gilt [mm] \Delta x=\sqrt{\left\langle x\right\rangle}?
[/mm]
Warum das nicht Lösung der Schrödingergleichung sein kann, kann ich nicht sagen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo.
Den Erwartungswert berechnet man zu
[mm]=<\Psi|x|\Psi>=\integral_{-\infty}^{\infty}{\overline{\Psi}x\Psi dx} [/mm]
[mm]\Delta x[/mm] ist die Quadratwurzel der Varianz und die wird gewöhnlicherweise mit dem Verschiebungssatz berechnet.
Der Kram sollte aber in jedem Quantenmechanik Lehrbuch, mit ausführlicheren Erklärungen, auf den ersten paar Seiten zu finden sein.
Bei dem zweiten Teil der Aufgabe könnte man zunächst einmal versuchen die Wellenfunktion in die Schrödingergleichung einzusetzen. Da kriegt man dann sehr schnell raus, dass diese sehr wohl auf der positiven als auch auf der negativen reellen Halbachse gelöst wird(zumindest falls [mm] \lambda [/mm] beliebig ist). An welcher Stelle liegt also das Problem, bzw. welche Bedingung ist dort nicht erfüllt?
Grüße,
Doing
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> Hallo.
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> Den Erwartungswert berechnet man zu
> [mm]=<\Psi|x|\Psi>=\integral_{-\infty}^{\infty}{\overline{\Psi}x\Psi dx}[/mm]
Aber gilt nicht [mm] \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\, \mathrm [/mm] dx [mm] \,\stackrel{!}{=}\, [/mm] 1 [mm] \quad? [/mm] Dann käme da ja auch für <x>=1 raus (und zwar immer), weil ja das Teilchen irgendwo im Raum seihen muss oder hab ich was missverstanden?
>
> [mm]\Delta x[/mm] ist die Quadratwurzel der Varianz und die wird
> gewöhnlicherweise mit dem Verschiebungssatz berechnet.
> Der Kram sollte aber in jedem Quantenmechanik Lehrbuch,
> mit ausführlicheren Erklärungen, auf den ersten paar
> Seiten zu finden sein.
>
> Bei dem zweiten Teil der Aufgabe könnte man zunächst
> einmal versuchen die Wellenfunktion in die
> Schrödingergleichung einzusetzen. Da kriegt man dann sehr
> schnell raus, dass diese sehr wohl auf der positiven als
> auch auf der negativen reellen Halbachse gelöst
> wird(zumindest falls [mm]\lambda[/mm] beliebig ist). An welcher
> Stelle liegt also das Problem, bzw. welche Bedingung ist
> dort nicht erfüllt?
>
> Grüße,
> Doing
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Di 05.01.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Wieso denkst du, dass dann <x>=1 folgt? Löse doch mal das Integral, dann wirst du sehen dass dem nicht so ist.
Abgesehen davon, verwechselst du den Erwartungswert mit einer Aussage über Wahrscheinlichkeiten. <x> gibt nicht an mit welcher Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Interval über das integriert wird zu finden ist, sondern ist ganz einfach der Wert, der sich bei hinreichend häufiger Durchführung einer Messung als Mittelwert einstellt.
Allgemein wäre der Erwartungswert definiert als
[mm] = \bruch{<\Psi|x|\Psi>}{<\Psi|\Psi>} [/mm]
Da man aber eben verlangt, dass [mm] |\Psi|^2 [/mm] als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretierbar sein soll, wird die Wellenfunktion eben so normiert, dass der Nenner gleich 1 ist.
In der Ortsdarstellung findet man dann grade auch für den Ortsoperator ein sehr bekanntes Bild, nämlich:
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}{x|\Psi|^2 dx} [/mm]
Auf diese Art wird in der Stochastik ja der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen berechnet. Wir haben ja grade für den Ort die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
Grüße,
Doing
Edit: Ich rate dir aber wirklich das nochmal irgendwo nachzulesen, da dies sehr grundlegende Fragen sind, die dir in diversen Büchern sicher auch besser erklärt werden, als ich das hier könnte.
Dass du dazu nichts gefunden hast, finde ich sehr komisch; das Internet sollte eigentlich voll von Skripten zur QM sein.
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> Bei dem zweiten Teil der Aufgabe könnte man zunächst
> einmal versuchen die Wellenfunktion in die
> Schrödingergleichung einzusetzen. Da kriegt man dann sehr
> schnell raus, dass diese sehr wohl auf der positiven als
> auch auf der negativen reellen Halbachse gelöst
> wird(zumindest falls [mm]\lambda[/mm] beliebig ist). An welcher
> Stelle liegt also das Problem, bzw. welche Bedingung ist
> dort nicht erfüllt?
>
> Grüße,
> Doing
Okay, zu meiner Verteidigung muss ich mal sagen, dass die Aufgabe Teil einer Einführungsvorlesung zur Physik war. Quantenphysik Vorlesungen habe ich noch nicht gehört.
Ich habe allerdings immer noch keine Lösung für die Aufgabe.
Ich mache mal einen Anfang:
Zunächst die SG: [mm] -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
[/mm]
Dann habe ich das zweimal abgeleitet und komme zu:
[mm] \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)=\frac{\lambda^{2}\sqrt{\lambda}}{4}e^{-\frac{\lambda}{2}x}=\frac{\lambda^{2}}{4}\psi(x).
[/mm]
Wenn ich das jetzt einsetze, erkenne ich nixhts, weil ich nicht weiß, was ich mit dem V(x) und dem E anstellen soll.
Was soll denn nun auffällig sein, bzw. warum löst das Ding das nicht?
Nach Normierung lautet meine Funktion: [mm] \psi(x)=\sqrt{\lambda}exp(-\frac{\lambda}{2}x), [/mm] und [mm] x\geq [/mm] 0.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Do 18.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Die Funktion ist in 0 nicht stetig.
Gruß,
Doing
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> Hallo!
> Die Funktion ist in 0 nicht stetig.
>
> Gruß,
> Doing
Welche jetzt? Die Wellenfunktion? [mm] \sqrt{\lambda}exp({-\frac{\lambda}{2}}) [/mm] ist doch aber in 0 stetig.
Und auch diffbar. Welche andere muss denn stetig sein in 0 und warum?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Do 18.03.2010 | | Autor: | Doing |
> > Hallo!
> > Die Funktion ist in 0 nicht stetig.
> >
> > Gruß,
> > Doing
>
> Welche jetzt? Die Wellenfunktion?
> [mm]\sqrt{\lambda}exp({-\frac{\lambda}{2}})[/mm] ist doch aber in 0
> stetig.
Ja, das stimmt. So lautet aber nicht die Wellenfunktion.
>
> Und auch diffbar. Welche andere muss denn stetig sein in 0
> und warum?
Nun einfach deshalb, weil man eine Lösung für alle reellen Zahlen haben will.
Die Frage ist genau genommen falsch gestellt, da die Wellenfunktion ja eben sehr wohl die SGL löst, aber halt nicht für alle reellen Zahlen, weil die zweite Ableitung die in der SGL vorkommt in 0 eben nicht definiert ist.
Gruß,
Doing
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> > > Hallo!
> > > Die Funktion ist in 0 nicht stetig.
> > >
> > > Gruß,
> > > Doing
> >
> > Welche jetzt? Die Wellenfunktion?
> > [mm]\sqrt{\lambda}exp({-\frac{\lambda}{2}}x)[/mm] ist doch aber in 0
> > stetig.
> Ja, das stimmt. So lautet aber nicht die Wellenfunktion.
Wie denn dann? Ist doch so gegeben.
> >
> > Und auch diffbar. Welche andere muss denn stetig sein in 0
> > und warum?
> Nun einfach deshalb, weil man eine Lösung für alle
> reellen Zahlen haben will.
> Die Frage ist genau genommen falsch gestellt, da die
> Wellenfunktion ja eben sehr wohl die SGL löst, aber halt
> nicht für alle reellen Zahlen, weil die zweite Ableitung
> die in der SGL vorkommt in 0 eben nicht definiert ist.
Das ist nachvollziehbar, wenn du mir sagst, welche Funktion denn nun stetig sein soll?
>
> Gruß,
> Doing
>
Danke schonmal bis hierhin,
gruß Sleeper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Do 18.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Die Funktion [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x)=exp(-x) ist stetig in 0.
Die Wellenfunktion ist aber eben die abschnittsweise definierte Funktion
[mm] \psi(x)\thicksim\begin{cases} 0, & x<0\\ \mbox{exp}(-\frac{\lambda}{2}x), & x\geq0\end{cases}
[/mm]
Und die ist nicht stetig in 0.
Gruß,
Doing
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