Aufenthaltswahrscheinlichkeit < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
sei [mm] \Psi(x) [/mm] = [mm] Cos(\frac{\pi x}{l}) [/mm] eine Wellenfunktion.
Ich soll die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchen in [0,l/2] berechnen.
Die Lösung lautet:
P = [mm] \frac{2}{l} \integral_{0}^{\frac{l}{2}}{cos(\frac{\pi x}{2})^2 dx}
[/mm]
Warum multipliziere ich am Anfang mit [mm] \frac{2}{l}? [/mm] Was davon ist eigetlich definition der Aufenthaltswahrscheinlichkeit?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du eine Wellenfkt. [mm] $\psi$ [/mm] gegeben hast, dann ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit das Integral über [mm] $\psi^2$ [/mm] in deinen Grenzen.
Bist du dir sicher, dass das untere Integral stimmt? Denn das deckt sich nicht mit deiner Wellenfkt.
Das $2/l$ kommt wohl daher, weil du normieren musst. [mm] $\psi^2$ [/mm] ist ja eigentlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Und man normiert dann so, dass das Integral von (in deinem Fall) 0 bis l gleich 1 sein muss (denn du hast wohl einen Potentialtopf gegeben, der von 0 bis l geht).
Und wenn du das Integral von 0 bis l von [mm] $\psi^2$ [/mm] berechnest, kommt gerade l/2 raus. Da dein Telichen aber irgendwo in dem Topf sein muss, darf die Wahrscheinlichkeit eben 1 sein (denn die Wsk. ist immer zwischen 0 und 1). Deshalb teilt man dann durch 2/l vor jedem Integral, damit man eine gute Wsk-Dichte hat.
Damit du jetzt die Wsk. berechnen kannst, zwischen dem sich dein Teilchen zwischen 0 und l/2 befindet, berechnest du dann das Integral von
[mm] $\frac{2}{l}\int_0^{l/2}\cos(\pi x/l)^2 [/mm] dx$
Wobei das 2/l dann, wie gesagt, die Normierung der Wsk-Dichte auf 1 ist.
LG
Kroni
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