Aufg zu Lin. Algebra < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | Überlegen Sie, was alle Vektoren der Menge U:={x [mm] \in R^3 [/mm] | <x,y>=0} erfüllen muessen. Geben sie zwei linear unabhaengige Vektoren aus U an.
Gegeben sei der Vektor v= [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe zwei überlegungen zu dieser Aufgabe.
Die erste ist, dass x wie ein linear multiplikator ist (hoffe, dass richtig ist meine damit ein z.B. lambda) dh
[mm] Lin{\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}} [/mm] = { [mm] x*v|\in R^3 [/mm] } [mm] =>\vektor{-2x \\ 0 \\ x}
[/mm]
bsp fuer vektoren wer wenn x=1 o. x=2 usw...
Meine zweite Überlegung ist, das mit <x,y>=0 gemeint ist, dass das Skalarpordukt=0 alsp orthogonal ist.
Habe mir in diesem Fall einen Vektor fuer x gesucht bei dem das Skalarprodut = 0 ist z.B. [mm] x=\vektor{-1 \\ 0 \\ -2} [/mm] dh
Lin { [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ -2} [/mm] } = { [mm] \lambda1*v [/mm] + [mm] \lambda2*x [/mm] | [mm] \lambda1,\lambda2\in R^3 [/mm] }
[mm] =>\pmat{ -2\lambda1 & -\lambda2 \\ \lambda1 & -2\lambda2 }
[/mm]
nun setz ich fuer lambda1 & 2 zahlen und bekomm meine Beispielvektoren.
Weiß nicht nun ob ich total auf dem Schlauch steh oder ansatzweise richtige Überlegungen habe.
Hoffe alles ist zu verstehn. Habe versucht alles so gut es geht mit den Eingabehilfen einzutippen.
mfg Felix
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was soll denn das y sein?
Oder anders gefragt: könnte es sein, daß in der Menge eher <x,v> stehen soll?
In diesem Fall wären die zu v orthogonalen Vektoren in der Menge.
Einen hast Du ja schon gefunden.
Du müßtest noch einen Vektor suchen, der von diesem unabhängig ist und orthogonal zu v.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 13.04.2008 | | Autor: | Druss |
Vielen Dank fuer die schnelle Anwort.
Wie du schon richtig erkennen konntest handelt es sich um ein v nicht um y ;)
d.h., dass mein zweiter Lösungsweg der richtige ist?
Habe mir de ersten orthogonal verlaufenden Vektor einfach so ausgeguckt.
Kann ich nicht nun fuer [mm] \lambda1 [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] entsprechende Zahlen einsetzen um weitere orthogonal verlaufende Vektoren zu bestimmen?
Habe gerade fuer [mm] \lambda1 [/mm] sowie [mm] \lambda2 [/mm] jewils 1 eingesetzt und festgestellt, dass meine Formulierung nicht stimmen kann :(
Ich koennte jetzt zwar einen weiteren Vektor bestimmen der unabh. ist aber habe gerade keine Idee wie ich festellen kann was fuer alle Vektoren gelten muss.
|
|
|
| |
|
> d.h., dass mein zweiter Lösungsweg der richtige ist?
Hallo,
von der Tendenz her ist der richtig.
Du brauchst nun aber noch den anderen Vektor. Den findest Du nicht aus Linearkombination v. v und Deinem x.
Entweder guckst Du nochmal scharf, insbes. auf die zweite Komponente, oder Du löst die Gleichung [mm] <\vektor{x\\y\\z},\vektor{-2\\0\\1}>=0=-2x+0*y+1*z
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 13.04.2008 | | Autor: | Druss |
Glaube ich habs. wenn ich das skalarprodukt auflöse so wird y=0 sein egal was ich dafür einsetze bzw der mittlere wert intressiert nicht so sehr.
desweiteren bekomme ich fuer 2*x+z raus, das 2*x=z sein muss so wird zb bei x=1, z=2 sein somit ist der vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] koenne nun auch fuer x=155 einsetzen und bekäme fuer z=310 herraus was wiederum im skalarprodukt = 0 ergibt.
im prinzip koennte ich doch fuer y jeden möglichen wert einsetzen oder nicht?
allgemein muesste dann doch fuer jeden möglichen vektor der menge U wie oben angegeben gelten, dass 2x=z gelten muss.
unabh. vektoren kann ich doch nun soviele angeben wie ich lustig bin.
|
|
|
| |
|
Hallo,
es steht allerlei Richtiges in Deinem Post, aber trotzdem werde ich nicht recht schlau daraus.
Hast Du denn jetzt zwei linear unabhängige zu v orthogonale Vektoren gefunden?
Sag' sie mal.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:50 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Druss |
hi,
laut aufgabe sollte ich einmal allgemein formulieren, was fuer alle Vektoren dieser obrig beschriebenen Menge U gilt sowie zwei Beispiele nennen fuer linear unabh. Vektoren.
Dachte, dass ich mit der allgemeinen Formulierung mit 2*x=z ganz richtig liege wobei ich y beliebig wählen kann (weil y sowieso nicht abh ist?)
Dachte nun, dass ich fuer die beiden Beispiele nun eigentlich beliebig viele Vektoren nennen kann weil ich wie oben schon allgemein formuliert habe und fuer x beliebig viele Zahlen eingsetzen kann was dementsprechend viele z's ergibt.
Hoffe, dass ich die Aufgabe nicht missverstanden habe ;)
mfg Felix
|
|
|
| |
|
> laut aufgabe sollte ich einmal allgemein formulieren, was
> fuer alle Vektoren dieser obrig beschriebenen Menge U gilt
> sowie zwei Beispiele nennen fuer linear unabh. Vektoren.
>
> Dachte, dass ich mit der allgemeinen Formulierung mit 2*x=z
> ganz richtig liege wobei ich y beliebig wählen kann (weil y
> sowieso nicht abh ist?)
>
> Dachte nun, dass ich fuer die beiden Beispiele nun
> eigentlich beliebig viele Vektoren nennen kann weil ich wie
> oben schon allgemein formuliert habe und fuer x beliebig
> viele Zahlen eingsetzen kann was dementsprechend viele z's
> ergibt.
>
> Hoffe, dass ich die Aufgabe nicht missverstanden habe ;)
Hallo,
ich glaube schon, daß Du die Aufgabe richtig verstanden hast, aber irgendwie weigerst Du Dich, sie "knallhart" zu erledigen.
> laut aufgabe sollte ich einmal allgemein formulieren, was
> fuer alle Vektoren dieser obrig beschriebenen Menge U gilt
Die Antwort wäre hier: die Menge enthält alle Vektoren des [mm] \IR^3, [/mm] welche orthogonal sind zu v.
Das sind diejenigen Vektoren [mm] \vektor{x \\ y\\z}, [/mm] für welche 2*x=z gilt.
Also ist [mm] U=\{\vektor{x \\ y\\z}\in \IR| 2*x=z\}.
[/mm]
> sowie zwei Beispiele nennen fuer linear unabh. Vektoren.
Und genau hier redest Du um den heißen Brei heraum. Rück doch endlich mal zwei linear unabhängige Vektoren heraus, die beide orthogonal zu v sind! Die wollen die sehen und nicht irgendwelches Geschwafel hören...
Man könnte den Auftrag auch etwas anders formulieren: gib eine Basis von U an.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Druss |
hey ;),
Habs leider nicht so mit knallhartem mathe bzw weiß oft nicht wie ich es korrekt formulieren soll.
nun weiß ichs und werds auch ganz sicher nie wieder vergessen!
Hat mir sehr geholfen danke nochmal!
|
|
|
| |
|
Hallo,
hast Du jetzt auch zwei linear unabhängige Vektoren zum Vorzeigen?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Druss |
Wenn allgemein gilt, dass 2*x=z
füer x=1 => [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
fuer x=2 => [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Wenn allgemein gilt, dass 2*x=z
>
> füer x=1 => [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> fuer x=2 => [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 4}[/mm]
Hallo,
irgendwie war mir meine Hartnäckigkeit ja selbst etwas unangenehm, aber irgendwie hab' ich's doch geahnt...
Sind die denn linear unabhängig? Nein! Die sind sehr deutlich abhängig. Es ist doch der zweite bloß das doppelte vom ersten.
Welches ist der Lösungsraum des Gleichungs"systems" 2x + 0*y - 1*z=0 ?
Der hat die Dimension 2. Her nun mit dem zweiten Vektor!
(Eine Hilfe: welchen Wert kann y haben?)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Di 15.04.2008 | | Autor: | Druss |
mh bin mir zwar nicht sicher ob die beiden vektoren von einander lin. unabh. sein muessen oder einfach nur zwei lin. unabh. vekoren von v.
falls lin unabh. so drüft [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ein lin unabh. sein sowie kann ich doch y so wählen, dass der vektor lin unabh zu meinem erst genannten ist zb vektor{1 [mm] \\ [/mm] -3 [mm] \\ [/mm] 2}
|
|
|
| |
|
> mh bin mir zwar nicht sicher ob die beiden vektoren von
> einander lin. unabh. sein muessen oder einfach nur zwei
> lin. unabh. vekoren von v.
Hallo,
zwei linear unabhängige Vektoren.
>
> falls lin unabh. so drüft [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ein lin
> unabh. sein
So'n Quatsch! [mm] (\vektor{x \\ y \\ y},\vektor{0 \\ 0 \\ 0}) [/mm] sind immer abhängig, egal, welchen ersten Vektor Du wählst. (Nachrechnen, nachdenken.)
> sowie kann ich doch y so wählen, dass der
> vektor lin unabh zu meinem erst genannten ist zb [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 2} [/mm]
Endlich! Ja, dieser wäre eine passende Ergänzung zu [mm] \vektor{-1\\0\\ -2}.
[/mm]
(Eigentlich fliegt einem doch sofort [mm] \vektor{0\\1 \\0} [/mm] in den geöffneten Mund, oder?)
Gruß v. Angela
|
|
|
|
