Aufgabe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo zusammen,
ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht so richtig weiter weiß...
(1) Man gebe alle endlichen Unterringe des Rings [mm] \IZ [/mm] der ganzen Zahlen an.
(2) Man gebe einen echten unendlichen Unterring von [mm] \IZ [/mm] an.
kann es sein dass es zu (1) nur einen Unterring (G,+,*) gibt mit G={0,1} ??? aber 1+1=0 ist das ok? Dann ist es doch eigentlich kein richtiger Unterring von [mm] \IZ [/mm] oder?
Danke im Vorraus für eure Hilfe.Toyo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:34 Do 04.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Toyo
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> kann es sein dass es zu (1) nur einen Unterring (G,+,*)
> gibt mit G={0,1} ??? aber 1+1=0 ist das ok?
aus Zeitgründen kann ich nicht intensiv auf diese Frage eingehen, das wird jemand anderes tun müssen. Aber nur soviel: Wenn ein Unterring von [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] gesucht ist, dann ist damit auch implizit gesagt, dass auch die Operationen von [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] beibehalten werden müssen! $1+1=0_$ darfst du also auf gar keinen Fall nehmen! Hier gilt, wie von Kindsbeinen gelernt: $1+1=2_$
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Do 04.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Paulus, Danke für deine Bemerkung!
Hat noch jemand anders ne Idee zu der Aufgabe?
Wäre ihm sehr dankbar. Gruß Toyo
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Hallo Toyo,
die Null muss ja in jedem Ring drin sein. Damit weißt du, dass z.B. {0} ein (trivialer) endlicher Unterring von [mm] \IZ [/mm] ist.
Nimm an, es gäbe in einem Unterring von [mm] \IZ [/mm] noch eine andere Zahl x. Dann enthält dieser Ring zwangsläufig auch das negative von x, d.h -x. Insgesamt schließlich alle ganzzahligen Vielfachen von x.
Kann es dann außer {0} weitere endliche Unterringe geben?
Kannst du dir einen unendlichen Unterring konstruieren?
Soweit meine Hinweise, ich hoffe, du kannst sie gebrauchen.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 07.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Hugo und alle anderen, danke für Dein Posting,
sehe ich es richtig, dass {0} der einzige endliche Unterring des Ringes der Ganzen Zahlen ist und das z.B. (M,+,*) mit M={...,-12,-6,0,6,12,...} ein unendlicher Unterring des Ringes der ganzen Zahlen ist?
Ein ja oder nein würde mich schon glücklich machen, im Falle "Nein" noch eine kleine Anmerkung wäre genial 
Thanx Gruß Toyo
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Hallo Toyo,
ich denke, das ist richtig.
Wenn du neben der Null noch eine andere ganze Zahl in deinem Ring hast, dann muss er ja gegen wiederholte Addition abgeschlossen sein, damit geht also die Endlichkeit flöten.
In [mm] \IZ [/mm] gibt es also nur einen endlichen Unterring.
Unendliche gibt es massenhaft, z.B. wie du angegeben hast, die Vielfachen von 6.
Hugo
PS: Habe ich dich glücklich gemacht?
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