Aufgabe #14 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:32 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: Irische Mathematik Olympiade 1996
Es bezeichne $f(n)$ den ggT von $n!+1$ und $(n+1)!$. Finde eine Formel für $f(n)$.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man informiere sich über den Satz von Wilson.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo nochmal.
Behauptung 1: [mm]\forall k\in \{ 2,...,n \}: k \not| n!+1 [/mm].
Beweis: Angenommen doch. Dann: [mm]n! \equiv -1 \mod{k} \Rightarrow[/mm] Widerspruch.
Behauptung 2: n+1 | n!+1 falls n+1 prim.
Beweis: Satz von Wilson: z prim [mm]\gdw (z-1)! \equiv -1 \mod{z}[/mm]
[mm]\Rightarrow n! \equiv -1 \mod{n+1} \Rightarrow[/mm] Behauptung.
Behauptung 3: Falls n+1 zusammengesetzt, so gilt [mm]n+1 \not | n!+1[/mm]
Beweis: Angenommen doch.
Dann: [mm]n!+1 \equiv 0 \mod{n+1} \Rightarrow[/mm] Widerspruch zum Satz von Wilson.
[mm]\Rightarrow f(n):=ggT(n!+1;(n+1)!)=\begin{cases} n+1, & \mbox{falls } n+1 \mbox{ prim} \\ 1, & \mbox{sonst. } \end{cases}[/mm].
Liebe Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christian!
Wunderbar, damit wäre die erste der neuen Aufgaben schon gelöst 
Liebe Grüße,
Hanno
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