Aufgabe #36 ([U]n[G]leichung) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:46 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo an alle!
Folgende Aufgabe von math4u. Sie ist relativ schwierig, sowohl die Lösung auf math4u, als auch jene, die ich selbst gefunden habe.
Es seien $x_1,x_2,...,x_n$ mit $\summe_{k=1}^{n}x_k^2=1$. Man finde den minimalen Wert von $\summe_{k=1}^{n}{\frac{x_k^5}{s_k}$, wobei $s_k:=-x_k+\summe_{i=1}^{n} x_i$ ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 So 15.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Für die von mir entwickelte Lösung ist vorallem folgender Satz von großer Wichtigkeit:
[b]Sind [mm] $a_1,a_2,...,a_n$ [/mm] und [mm] $b_1,b_2,...,b_n$ [/mm] gleichgerichtete Folgen, d.h. [mm] $a_1\leq a_2\leq ...\leq a_n\wedge b_1\leq b_2\leq ...\leq b_n$ [/mm] oder umgekehrt, so gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{a_k\cdot b_k}\geq \frac{1}{n}\left(\summe_{k=1}^{n} a_k\right)\cdot\left( \summe_{k=1}^{n} b_k\right)$.
[/mm]
(Tschebycheffsche Ungleichung)[b]
Ebenso kann sich beim Lösen dieser Aufgabe die Kenntnis des folgenden Beweises der Nesbitts Ungleichung als nützlich erweisen:
[b]Nesbitt Ungleichung: für positive, reelle $a,b,c$ gilt [mm] $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$.
[/mm]
Beweis:
Der Trick, den man auch bei obiger Ungleichung anwenden kann, ist folgender:
[mm] $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw (a+b+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right) \geq \frac{9}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw ((a+b)+(b+c)+(c+a))\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\geq [/mm] 9$
[mm] $\gdw \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}\geq [/mm] 6$.
Diese Ungleichung ist wegen [mm] $x+\frac{1}{x}\geq [/mm] 2, [mm] x\in\IR^+$ [/mm] sicher erfüllt.[b]
So, damit sollte die Aufgabe nun machbar sein.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Di 17.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Hier meine Lösung:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{\frac{x_k^5}{s_k}}=\summe_{k=1}^{n} x_k^2\cdot\frac{x_k^3}{s_k}\geq \frac{1}{n}\overbrace{\left(\summe_{k=1}^{n} x_k^2\right)}^{=1}\cdot\left(\summe_{k=1}^{n} x_k^2\cdot\frac{x_k}{s_k}\right)\geq \frac{1}{n^2}\overbrace{\left(\summe_{k=1}^{n} x_k^2\right)}^{=1}\cdot\left(\summe_{k=1}^{n}\frac{x_k}{s_k}\right)=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\summe_{k=1}^{n}\frac{s}{s_k}-n\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{1}{n-1}\cdot\left(s_1+s_2+...+s_{n-1}+s_n\right)\cdot\left(\summe_{k=1}^{n}{\frac{1}{s_k}}\right)-n\right)\geq\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{1}{n-1}\left(2\cdot\vektor{n\\ 2}+n\right)-n\right)=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{n^2}{n-1}-\frac{n(n-1)}{n-1}\right)=\frac{1}{n(n-1)}$.
[/mm]
Die Minimalität dieser Lösung wird durch Setzen von [mm] $x_1,x_2,...,x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ [/mm] bestätigt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Hanno,
![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") !!! Die Lösung hät ich wohl so schnell nicht hingekriegt.
Leider verstehe ich deinen Beweis noch nicht 100%.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}{\frac{x_k^5}{s_k}}=\summe_{k=1}^{n} x_k^2\cdot\frac{x_k^3}{s_k}\geq \frac{1}{n}\overbrace{\left(\summe_{k=1}^{n} x_k^2\right)}^{=1}\cdot\left(\summe_{k=1}^{n} x_k^2\cdot\frac{x_k}{s_k}\right)\geq \frac{1}{n^2}\overbrace{\left(\summe_{k=1}^{n} x_k^2\right)}^{=1}\cdot\left(\summe_{k=1}^{n}\frac{x_k}{s_k}\right)[/mm]
Bis hierher ist mir alles klar...
[mm]=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\summe_{k=1}^{n}\frac{s}{s_k}-n\right)[/mm]
Ist $s = [mm] \summe s_k=(n-1)\summe x_k$??? [/mm] und warum ist [mm]\summe_{k=1}^{n}\frac{s}{s_k}-n=\summe_{k=1}^{n}\frac{x_k}{s_k}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{1}{n-1}\cdot\left(s_1+s_2+...+s_{n-1}+s_n\right)\cdot\left(\summe_{k=1}^{n}{\frac{1}{s_k}}\right)-n\right)\geq\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{1}{n-1}\left(2\cdot\vektor{n\\ 2}+n\right)-n\right)=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{n^2}{n-1}-\frac{n(n-1)}{n-1}\right)=\frac{1}{n(n-1)}[/mm].
Bei der letzten Abschätzung benutzt du, dass [mm] $x+\frac{1}{x}\ge2$, [/mm] oder?
> Die Minimalität dieser Lösung wird durch Setzen von
> [mm]x_1,x_2,...,x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] bestätigt.
>
>
> Liebe Grüße,
> Hanno
Wirklich tolle Lösung!!!!
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Es ist [mm] $\frac{x_k}{s_k}=\frac{x_k}{s_k}+1-1=\frac{x_k+s_k}{s_k}-1=\frac{s}{s_k}-1$, [/mm] also [mm] $\summe_{k=1}^{n}{\frac{x_k}{s_k}}=\summe_{k=1}^{n}{\frac{s}{s_k}}-n$. [/mm] Dabei ist $s$ als [mm] $\summe_{k=1}^{n} x_k$ [/mm] definiert.
> Bei der letzten Abschätzung benutzt du, dass $ [mm] x+\frac{1}{x}\ge2 [/mm] $, oder?
Ganz genau! Der Beweis folgt dem gleichen Schema wie der der Nesbitts-Ungleichung, die diese Abschätzung auch verwendet.
Liebe Grüße,
Hanno
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