Aufgabe #44 (GEO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:24 Do 19.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei ABCD ein konvexes Sehnenviereck, R der Radius seines Umkreises, ferner Q sein Flächeninhalt. Man zeige:
(a)
[mm] $R^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{16\cdot Q^2}$
[/mm]
(b)
[mm] $R\geq\frac{(abcd)^\frac{3}{4}}{\sqrt{2}\cdot Q}$,
[/mm]
wobei Gleichheit genau dann eintritt, wenn ABCD ein Quadrat ist.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Sa 21.05.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Kurze Frage: Gibt es auch nicht konvexe Sehnenvierecke?
Um Teil (a) zu lösen brauche ich die Flächenformel [mm] $F=\frac{abc}{4R}$ [/mm] für das Dreieck und den Satz des Ptolemaios $ef=ac+bd$ des Sehnenvierecks (e= Diagonale AC, f=Diagonale BD).
Ich wende die Flächenformel für die Dreiecke ABC un CDA an und zähle zusammen, um die Vierecksfläche zu bekommen:
[mm] $Q=\frac{abe}{4R}+\frac{cde}{4R}=\frac{(ab+cd)e}{4R}$
[/mm]
Das Gleiche mache ich mit den Dreiecken BCD und DAB und erhalte:
[mm] $Q=\frac{bcf}{4R}+\frac{adf}{4R}=\frac{(ad+bc)f}{4R}$
[/mm]
Multiplizieren der beiden Gleichungen und Satz des Ptolemaios liefert das Gewünschte:
[mm] $Q^2=\frac{(ab+cd)(ad+bc)ef}{16R^2}=\frac{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{16R^2}$
[/mm]
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moudi!
Wie könnte es anders sein: völlig korrekt, so hab ich's auch gemacht. Die (b) ist nun auch nur noch ein Klaks, wenn man (a) bewiesen hat.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Sa 21.05.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Ich habs gerade gemerkt. Man verwendet nur noch die Ungleichung des arithmetischen und geometrischen Mittels: [mm] $\frac{x+y}2\geq \sqrt{xy}$ [/mm] für x=ab, y=cd rsp. x=ac, y=bd rsp. x=ad, y=bc.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moudi!
Genau! Super, damit wäre eine weitere Aufgabe gelöst ;) Du bist ja gar nicht zu bremsen 
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
