Aufgabe: Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Do 13.08.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | Man beweise, dass für nichtnegative a,b gilt:
$ab [mm] \le \left( \frac{a+b}{2}\right)^2$
[/mm]
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Mit dem Monotoniegesetzt lässt sich der Bruch ja ganz leicht entfernen:
$ab [mm] \le \left( \frac{a+b}{2}\right)^2 \gdw [/mm] ab [mm] \le \frac{a^2+2ab+b^2}{4} \gdw [/mm] 4ab [mm] \le a^2+2ab [/mm] + [mm] b^2$
[/mm]
Aber wie bringe ich den Beweis dafür jetzt zum Ende. Bekomm ich dafür einen kleinen Denkanstoß?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Do 13.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
beide Seiten -4ab, dann hast du eine binomische Formel [mm] \Rightarrow\ 0\le(...)^2 [/mm] und die Ungleichung stimmt immer 
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 13.08.2009 | | Autor: | pittster |
Also reicht es, da noch das $ [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le a^2-2ab+b^2$ [/mm] anzufügen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 13.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Dennis,
> Also reicht es, da noch das [mm]\gdw 0 \le a^2-2ab+b^2[/mm]
> anzufügen?
>
nein, du musst da schon ein Quadrat draus machen, denn [mm] \text{alle} [/mm] Quadrate in den reellen Zahlen sind größer gleich Null.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 13.08.2009 | | Autor: | pittster |
Jetzt ist mir leider gerade nicht ganz klar, was Du meinst. :(
Soll ich aus dem gesamten ausgeklammerten Binom ein Quadrat machen? Also praktisch [mm] (a^2+4ab+b^2)^2 [/mm] oder wie meinst du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 13.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
keine Hektik - du hast doch eine binomische Formel und damit schon dein Quadrat:
[mm] a^2-2ab+b^2=(a-b)^{2}
[/mm]
damit bist du fertig.
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Do 13.08.2009 | | Autor: | pittster |
Achso. Ich hatte schon Böses vermutet. :D
Danke für die Hilfe
lg, Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Do 13.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
dann mal in einem Stück:
$ ab [mm] \le \left( \frac{a+b}{2}\right)^2\quad \blue{\gdw}\quad [/mm] ab [mm] \le \frac{a^2+2ab+b^2}{4}\quad \blue{\gdw}\quad [/mm] 4ab [mm] \le a^2+2ab [/mm] + [mm] b^2\quad \blue{\gdw}\quad 0\le a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 [/mm] $
Lg
Herby
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