Aufgabe zu Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Die höhe eines bestimmten Hügels (in Metern) wird durch folgende Funktion beschrieben:
h(x, y) = 10 (2xy - [mm] 3x^{2} [/mm] - [mm] 4y^{2} [/mm] - 18x + 28y + 12)
wobei y die Entfernung in Kilometern nördlich eines Ortes A und x die Entfernung östlich dieses Ortes ist.
a) Wo befindet sich der Gipfel des Hügels?
b) Wie hoch ist der Hügel?
c) Wie steil ist der Anstieg (in Metern pro Kilometer) an einem Punkt, der sich einen Kilometer nördlich und einen Kilometer östlich dieses Ortes befindet?
In welche Richtung ist an diesem Punkt die Steigung am größten? |
Hallo liebe Community,
ich habe eine Frage zu der Aufgabe.
Teilaufgabe a) habe ich schon berechnet. Man geht ja hier so vor, dass man die partielle Ableitungen [mm] h_{x} [/mm] und [mm] h_{y} [/mm] berechnet. Diese wären doch:
[mm] h_{x} [/mm] = 10(2y - 6x - 18)
[mm] h_{y} [/mm] = 10(2x - 8y + 28)
Da [mm] h_{x} [/mm] =0 und [mm] h_{y} [/mm] = 0 gelten muss habe ich die jeweiligen Klammern in ein LGS gepackt:
-6x + 2y - 18 = 0
2x - 8y + 28 = 0
und bekomme für x = -2 und y = 3.
Nun gilt es herauszufinden, ob dies wirklich ein Hochpunkt ist. Diese Aussage kann ich ja treffen, indem ich schaue, ob die Hesse-Matrix negativ definit ist.
=>
[mm] h_{xx} [/mm] = -60
[mm] h_{xy} [/mm] = [mm] h_{yx} [/mm] = 20
[mm] h_{yy} [/mm] = -80
und die Hesse-Matrix hat somit folgende Form:
[mm] H_{h} [/mm] = [mm] \vmat{ -60 & 20 \\ 20 & -80 }
[/mm]
Es ist ja nun [mm] H_{1} [/mm] = [mm] a_{11} [/mm] = -60 < 0
und [mm] H_{2} [/mm] = det [mm] H_{h} [/mm] = 4400 > 0. Somit ist der Hauptminor [mm] H_{1} [/mm] < 0 und der zweite Hauptminor [mm] H_{2} [/mm] > 0 und es gibt einen Vorzeichenwechsel von "-" nach "+"
=> Hesse Matrix ist negativ definit, und somit der gefundene Extrempunkt ein globales Maximum und befindet sich an der Stelle x = -2 und y = 3.
b) Die Höhe bekomme ich ja durch Einsetzen von x = -2 und y = 3 in h(x,y), korrekt?
c) Muss ich hier einfach den Gradienten im Punkt P(1|1) bilden? Der Gradient allgemein ist doch grad h(x,y) = [mm] \vektor{10(2y - 6x - 18) \\ 10(2x - 8y + 28)} [/mm] und im Punkt P für x = y = 1: grad h(1,1) = [mm] \vektor{-220 \\ 220}.
[/mm]
Dann zeigt doch die stärkste Steigung in die Richtung [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] und die Steigung wäre [mm] \wurzel{2} [/mm] Meter / Kilometer?
Ich würde mich über eure Antworten zu den Teilaufgaben freuen und wäre euch dankbar!
Viele Grüße,
Christian
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Hallo,
> Die höhe eines bestimmten Hügels (in Metern) wird durch
> folgende Funktion beschrieben:
>
> h(x, y) = 10 (2xy - [mm]3x^{2}[/mm] - [mm]4y^{2}[/mm] - 18x + 28y + 12)
> wobei y die Entfernung in Kilometern nördlich eines Ortes
> A und x die Entfernung östlich dieses Ortes ist.
>
> a) Wo befindet sich der Gipfel des Hügels?
>
> b) Wie hoch ist der Hügel?
>
> c) Wie steil ist der Anstieg (in Metern pro Kilometer) an
> einem Punkt, der sich einen Kilometer nördlich und einen
> Kilometer östlich dieses Ortes befindet?
> In welche Richtung ist an diesem Punkt die Steigung am
> größten?
>
>
> Hallo liebe Community,
>
> ich habe eine Frage zu der Aufgabe.
>
> Teilaufgabe a) habe ich schon berechnet. Man geht ja hier
> so vor, dass man die partielle Ableitungen [mm]h_{x}[/mm] und [mm]h_{y}[/mm]
> berechnet. Diese wären doch:
>
> [mm]h_{x}[/mm] = 10(2y - 6x - 18)
> [mm]h_{y}[/mm] = 10(2x - 8y + 28)
>
> Da [mm]h_{x}[/mm] =0 und [mm]h_{y}[/mm] = 0 gelten muss habe ich die
> jeweiligen Klammern in ein LGS gepackt:
>
> -6x + 2y - 18 = 0
> 2x - 8y + 28 = 0
>
> und bekomme für x = -2 und y = 3. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gut!
>
> Nun gilt es herauszufinden, ob dies wirklich ein Hochpunkt
> ist. Diese Aussage kann ich ja treffen, indem ich schaue,
> ob die Hesse-Matrix negativ definit ist.
>
> =>
> [mm]h_{xx}[/mm] = -60
> [mm]h_{xy}[/mm] = [mm]h_{yx}[/mm] = 20
> [mm]h_{yy}[/mm] = -80
>
> und die Hesse-Matrix hat somit folgende Form:
>
> [mm]H_{h}[/mm] = [mm]\vmat{ -60 & 20 \\ 20 & -80 }[/mm]
>
> Es ist ja nun [mm]H_{1}[/mm] = [mm]a_{11}[/mm] = -60 < 0
> und [mm]H_{2}[/mm] = det [mm]H_{h}[/mm] = 4400 > 0. Somit ist der Hauptminor
> [mm]H_{1}[/mm] < 0 und der zweite Hauptminor [mm]H_{2}[/mm] > 0 und es gibt
> einen Vorzeichenwechsel von "-" nach "+"
Alternativ kannst du schnell einsehen, dass [mm]-H_h[/mm] positiv definit ist ..
> => Hesse Matrix ist negativ definit, und somit der
> gefundene Extrempunkt ein globales Maximum und befindet
> sich an der Stelle x = -2 und y = 3.
>
>
> b) Die Höhe bekomme ich ja durch Einsetzen von x = -2 und
> y = 3 in h(x,y), korrekt?
Klar!
>
>
> c) Muss ich hier einfach den Gradienten im Punkt P(1|1)
Wieso in [mm](1,1)[/mm]?
Der Gipfel ist doch bei [mm](-2,3)[/mm] und je einen km weiter nördlich und östlich ist doch bei [mm](-2\red{+1},3\red{+1})=(-1,4)[/mm], oder nicht?
> bilden? Der Gradient allgemein ist doch grad h(x,y) =
> [mm]\vektor{10(2y - 6x - 18) \\ 10(2x - 8y + 28)}[/mm] und im Punkt
> P für x = y = 1: grad h(1,1) = [mm]\vektor{-220 \\ 220}.[/mm]
> Dann
> zeigt doch die stärkste Steigung in die Richtung
> [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] und die Steigung wäre [mm]\wurzel{2}[/mm] Meter /
> Kilometer?
>
>
>
> Ich würde mich über eure Antworten zu den Teilaufgaben
> freuen und wäre euch dankbar!
>
> Viele Grüße,
> Christian
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hi schachuzipus,
Vielen Dank dir für deine Antwort!
Es ist gemeint 1 km nördlich und 1 km östlich vom Ort A, nicht vom Ort der höchsten Steigung. Sorry blöd formuliert von mir, aber ich wollte die Stadt in der Aufgabe weglassen :) Wäre dann korrekt was ich geschrieben habe?
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Ich hab noch eine kurze Frage zu Teilaufgabe c)
Die Richtung des stärksten Anstieges ist ja der Gradient. Aber wie schaut es aus mit der Steigung, welche ja im Punkt verlangt wird. Ist die Steigung in einem Punkt definitionsmäßig der Betrag des Gradienten und somit die stärkste Steigung? Weil je nachdem in welche Richtung ich gehe verändert sich ja die Steigung und ich könnte ja sonst unendliche viele Steigungen angeben.
Viele Grüße,
Christian
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Hallo X3nion,
> Ich hab noch eine kurze Frage zu Teilaufgabe c)
>
> Die Richtung des stärksten Anstieges ist ja der Gradient.
> Aber wie schaut es aus mit der Steigung, welche ja im Punkt
> verlangt wird. Ist die Steigung in einem Punkt
> definitionsmäßig der Betrag des Gradienten und somit die
> stärkste Steigung? Weil je nachdem in welche Richtung ich
> gehe verändert sich ja die Steigung und ich könnte ja
> sonst unendliche viele Steigungen angeben.
>
Genau so ist es.
> Viele Grüße,
> Christian
Gruss
MathePower
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Hallo X3nion,
> Hi schachuzipus,
>
> Vielen Dank dir für deine Antwort!
>
> Es ist gemeint 1 km nördlich und 1 km östlich vom Ort A,
> nicht vom Ort der höchsten Steigung. Sorry blöd
> formuliert von mir, aber ich wollte die Stadt in der
> Aufgabe weglassen :) Wäre dann korrekt was ich
> geschrieben habe?
>
Ja.
> Gruß Christian
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo MathePower,
vielen Dank für deine zwei Antworten, nun macht mir das Sinn mit der Steigung!
Viele Grüße,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 07.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend!
Noch eine kurze Frage hatte ich hierzu. Ich habe die Steigung als [mm] \wurzel{2} [/mm] angegeben, allerdings stimmt das doch so nicht, da ich den eigentlichen Gradientenvektor [mm] \vektor{-220\\220} [/mm] ja gekürzt habe zu [mm] \vektor{-1\\1}.
[/mm]
Die eigentliche Steigung wäre doch somit [mm] \wurzel{220^{2} + 220^{2}} [/mm] nach dem Satz des Pythagoras, oder?
Viele Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Sa 07.11.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Guten Abend!
>
> Noch eine kurze Frage hatte ich hierzu. Ich habe die
> Steigung als [mm]\wurzel{2}[/mm] angegeben, allerdings stimmt das
> doch so nicht, da ich den eigentlichen Gradientenvektor
> [mm]\vektor{-220\\220}[/mm] ja gekürzt habe zu [mm]\vektor{-1\\1}.[/mm]
> Die eigentliche Steigung wäre doch somit [mm]\wurzel{220^{2} + 220^{2}}[/mm]
> nach dem Satz des Pythagoras, oder?
Richtig.
>
> Viele Grüße,
> Christian
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Sa 07.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hi,
okay alles,klaro, danke!
Gruß Christian
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