Aufgabe zur Stetigkeit/Diffbk. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hab hier eine Aufgabe die ich sonst nirgends gestellt habe:
Es sei f: [a,b] -> R stetig und in (a,b) zweimal differenzierbar mit f''(x) [mm] \ge [/mm] 0
für alle x aus (a,b).
Zeige:
Für alle x gilt f(x) [mm] \ge [/mm] max {f(a),f(b)}
Ich weiß nicht wirklich wie ich anfangen soll, ich dachte an den Mittelwertsatz, aber damit kann ich ja nicht zeigen, dass die Werte "im Innern" kleiner sein müssen als die am Rand.
Wie geht die Aufgabe?
Vielen Dank für eure Mühe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Es sei f: [a,b] -> R stetig und in (a,b) zweimal
> differenzierbar mit f''(x) [mm]\ge[/mm] 0
> für alle x aus (a,b).
> Zeige:
> Für alle x gilt f(x) [mm]\ge[/mm] max {f(a),f(b)}
>
> Ich weiß nicht wirklich wie ich anfangen soll, ich dachte
> an den Mittelwertsatz, aber damit kann ich ja nicht zeigen,
> dass die Werte "im Innern" kleiner sein müssen als die am
> Rand.
>
Die zu untersuchende Funktion ist konvex, da [mm]f''(x) \geq 0[/mm].
Das bedeutet insbesondere: [mm]\forall \lambda \in [0,1]: f(\lambda a + (1-\lambda)b) \le \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)[/mm] und damit für jedes [mm]x \in [a,b]: f(x) \le \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)[/mm].
Nimm dir diesen Tipp als Startpunkt und versuche, den Beweis hier richtig aufzuschreiben! Jemand wird dann sicher gern noch einmal drüberschauen!
Viele Grüße
Astrid
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Also muss ich dann weiterbeweisen so:
f(a) [mm] \ge \bruch{f(x)-(1- \lambda)f(b)}{ \lambda}
[/mm]
andererseits ist
f(b) [mm] \ge \bruch{f(x)- \lambda f(a)}{(1- \lambda)}
[/mm]
d.h. f(a) bzw. f(b) sind immer obere Schranken, und f(x) wird für alle x maximal so groß
Reicht das so?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Astrid |
> Also muss ich dann weiterbeweisen so:
>
> f(a) [mm]\ge \bruch{f(x)-(1- \lambda)f(b)}{ \lambda}
[/mm]
>
> andererseits ist
> f(b) [mm]\ge \bruch{f(x)- \lambda f(a)}{(1- \lambda)}
[/mm]
>
> d.h. f(a) bzw. f(b) sind immer obere Schranken, und f(x)
> wird für alle x maximal so groß
>
Nein, das reicht leider nicht, denn so zeigst du im Prinzip eine obere Schranken für z.B. [mm] \bruch{f(x)-(1- \lambda)f(b)}{ \lambda} [/mm].
Mir fällt gerade auf, dass du in der Fragestellung geschrieben hast:
[mm]f(x) \geq max \{f(a), f(b)\}[/mm] bei [mm]f''(x) \geq 0[/mm]. Das würde nicht zusammenpassen, siehe [mm]f(x)=e^x[/mm].
Wir wissen:
[mm]f(x) \leq \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)[/mm] weil [mm]f''(x) \geq 0[/mm]
und du sollst (wahrscheinlich) zeigen:
[mm]f(x) \leq max\{f(a), f(b)\}[/mm]
Sei nun obdA [mm]f(a) \leq f(b) [/mm] (für den Fall [mm]f(a) \geq f(b) [/mm] funktioniert der Beweis analog), dann gilt doch:
[mm]f(x) \leq \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b) \leq \\ \lambda f(b) + (1-\lambda) f(b) = f(b) [/mm] .
Also folgt:
[mm]f(x) \leq max\{f(a), f(b)\}[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!
Viele Grüße
Astrid
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