www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Aufgabe zur Summe von UVRs
Aufgabe zur Summe von UVRs < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Aufgabe zur Summe von UVRs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mi 19.11.2008
Autor: Martin20

Aufgabe
Wir definieren die direkte Summe endlich vieler UVR [mm] W_{i} \subset [/mm] V für einen VR V wie folgt:

V = [mm] W_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus W_{k}: \gdw [/mm] (i): V = [mm] W_{1} [/mm] +...+ [mm] W_{k} [/mm]
                   (ii): von Null verschiedene Vektoren
                     [mm] w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k} [/mm] sind linear unabhängig


Beweisen Sie, dass für einen Vektorraum V folgende Bedingungen äquivalent
sind:

1. V = [mm] W_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus W_{k} [/mm]

2. Jedes v [mm] \in [/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = [mm] w_{1}+ [/mm] ... [mm] +w_{k} [/mm] mit [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm]

3. V = [mm] W_{1} [/mm] + ... + [mm] W_{k} [/mm] und: Ist [mm] w_{1} [/mm] + ... + [mm] w_{k} [/mm] = 0 für [mm] w_{i} \in W_{i}, [/mm] so folgt [mm] w_{i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k

Ich weiß, dass man jetzt hier zeigen soll, dass 1.äquivalent zu 2. und 1. äquivalent 3. gilt. Meine erste Frage:
Muss man dann auch noch 2. äquivalent zu 3. zeigen und wie gehe ich überhaupt an die Beweise dran.
Als erstes sind mir hier Dinge wie Basisergänzungssatz und Austauschlemma eingefallen, aber irgendwie mangelt es an der Umsetzung...

Ich hoffe ihr könnt mir etwas weiterhelfen.

Vielen Dank im Voraus.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gruß Martin

        
Bezug
Aufgabe zur Summe von UVRs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mi 19.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Wir definieren die direkte Summe endlich vieler UVR [mm]W_{i} \subset[/mm]
> V für einen VR V wie folgt:
>  
> V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k}: \gdw[/mm] (i): V = [mm]W_{1}[/mm]
> +...+ [mm]W_{k}[/mm]
>                     (ii): von Null verschiedene Vektoren
>                       [mm]w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k}[/mm]
> sind linear unabhängig
>  
>
> Beweisen Sie, dass für einen Vektorraum V folgende
> Bedingungen äquivalent
>  sind:
>  
> 1. V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k}[/mm]
>  
> 2. Jedes v [mm]\in[/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = [mm]w_{1}+[/mm]
> ... [mm]+w_{k}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i}[/mm]
>  
> 3. V = [mm]W_{1}[/mm] + ... + [mm]W_{k}[/mm] und: Ist [mm]w_{1}[/mm] + ... + [mm]w_{k}[/mm] = 0
> für [mm]w_{i} \in W_{i},[/mm] so folgt [mm]w_{i}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm]
> k
>  Ich weiß, dass man jetzt hier zeigen soll, dass
> 1.äquivalent zu 2. und 1. äquivalent 3. gilt. Meine erste
> Frage:
>  Muss man dann auch noch 2. äquivalent zu 3. zeigen

hallo,

[willkommenmr].

Nein, das mußt Du nicht, den nDu hast dann ja diese Situation geschaffen:  (3) <==> (1) <==> (2), kommst also von dre 2 zur 3 und zurück.

Unter Umständen kannst Du das in einem Ringschluß noch raffinierter gestalten: 1 ==> 2 ==> 3 ==>1 . Das sind dann nur noch 3 Beweise statt vorher 4.


> und wie
> gehe ich überhaupt an die Beweise dran.

Ganz wichtig sind die Vorbereitungen. Daß Du genau die Voraussetzungen aufschreibst, Dir klarmachst, was diese bedeuten, Du die zu zeigende Aussage notierst und Dir auch derne Bedeutung klarmachst. dann erst kann ein beweis beginnen und gelingen.

Beispiel:

(1) ==> (2)

Voraussetzung: V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k}[/mm], dh.

> (i)V = [mm]W_{1}[/mm] +...+ [mm]W_{k}[/mm]
>                     (ii): von Null verschiedene Vektoren  [mm]w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k}[/mm]
> sind linear unabhängig


Zu zeigen: Jedes v [mm]\in[/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = [mm]w_{1}+[/mm] ... [mm]+w_{k}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i}[/mm],

d.h. jedes V ist darstellbar, und die Darstellung ist eindeutig.

Beweis: sei [mm] v\in [/mm] V.

Jetzt kannst Du schonmal begründen, warum es soch eine Darstellung gibt wie gefordert.

Die Eindeutigkeit würde man wohl erstmal so versuchen, daß man sagt, es gibt eine weitere solche Darstellung, die von der ersten verschieden ist. Dies würde man versuchen, zu einem Widerspruch zu führen.

Vielleicht so [mm] v=w_1+w_2+w_n=u_1+u_2+...+u_n [/mm] mit [mm] u_i,w_i\in W_i [/mm]

==>  0= [mm] (w_1-u_1) [/mm] +...+ [mm] (w_n-u_n) [/mm]

Überlege Dir, in welchem Raum die Klammern jeweils sind.

Nimm an, eine der Klammern wäre [mm] \not=0. [/mm] Dann weiter bis zum Widerspruch.

Gruß v. Angela





  

>  Als erstes sind mir hier Dinge wie Basisergänzungssatz und
> Austauschlemma eingefallen, aber irgendwie mangelt es an
> der Umsetzung...
>  
> Ich hoffe ihr könnt mir etwas weiterhelfen.
>  
> Vielen Dank im Voraus.
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Gruß Martin


Bezug
                
Bezug
Aufgabe zur Summe von UVRs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Do 20.11.2008
Autor: Martin20

Hallo Angela,

erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich denke, dass ich das, was du zu 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 geschrieben hast verstanden habe. Trotzdem hab ich jetzt bei 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 und [mm] 3\Rightarrow [/mm] 1 immer noch relativ geringe Vorstellungen wie ich das aufziehen soll. könntest du mir hier vielleicht auch noch ein paar kleine Tipps geben?

Viele Dank

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe zur Summe von UVRs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Do 20.11.2008
Autor: fred97

Machen wir mal 2 ==> 3:
wir setzen also voraus:
Jedes v $ [mm] \in [/mm] $ V ist eindeutig darstellbar als v = $ [mm] w_{1}+ [/mm] $ ... $ [mm] +w_{k} [/mm] $ mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $.

Dann folgt schon mal:  V = $ [mm] W_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] W_{k} [/mm] $

Sei $ [mm] w_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] w_{k} [/mm] $ = 0 für $ [mm] w_{i} \in W_{i}, [/mm] $ . Damit haben wir eine Darstellung des Nullvektors mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $. Es gibt aber noch eine weitere, nämlich

0 = 0+ ... +0.

nach Vor. ist die Darstellung aber eindeutig, also gilt: [mm] w_i [/mm] = 0 für i = 1, ..., k


FRED

Bezug
                                
Bezug
Aufgabe zur Summe von UVRs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Do 20.11.2008
Autor: Martin20

Vielen Dank!

Also ich habe das ganze jetzt folgendermaßen versucht zu lösen:
An manchen Stellen fehlt vielleicht noch etwas...

[mm] 1\Rightarrow2: [/mm]

Vor: V = $ [mm] W_{1} \oplus [/mm] $ ... $ [mm] \oplus W_{k} [/mm] $, dh.

> (i)V = $ [mm] W_{1} [/mm] $ +...+ $ [mm] W_{k} [/mm] $
>                     (ii): von Null verschiedene Vektoren  $ [mm] w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k} [/mm] $
> sind linear unabhängig

Zu zeigen:
Jedes v $ [mm] \in [/mm] $ V ist eindeutig darstellbar als v = $ [mm] w_{1}+ [/mm] $ ... $ [mm] +w_{k} [/mm] $ mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $,

d.h. jedes V ist darstellbar, und die Darstellung ist eindeutig.

Beweis: sei $ [mm] v\in [/mm] $ V.

Zur Darstellbarkeit habe ich mir überlegt, dass die V = $ [mm] W_{1} \oplus [/mm] $ ... $ [mm] \oplus W_{k} [/mm] $ eine Basis bilden und somit jeder Vektor v Element V darstellbar ist, aber sicher bin ich mir hier nicht.

Zur Eindeutigkeit:

Angenommen: Sei $ [mm] v\in [/mm] $ V und [mm] \lambda_{i},\mu_{i} \in \IR [/mm]

[mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}w_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} \mu_{i}w_{i} [/mm]

[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{k} (\lambda_{i} [/mm] - [mm] \mu_{i})w_{i}=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] wg der linearen Unabhängigkeit von  $ [mm] w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k} [/mm] $ :

[mm] \lambda_{i} [/mm] = [mm] \mu_{i} [/mm] f.a. i= 1,...,k

2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3:

Vor: Jedes v [mm] \in [/mm] V ist eindeutig darstellbar als v  = $ [mm] w_{1}+ [/mm] $ ... $ [mm] +w_{k} [/mm] $ mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $.

Dann folgt schon mal:   V = $ [mm] W_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] W_{k} [/mm] $

Sei  [mm] w_{1}+ [/mm] ... [mm] +w_{k} [/mm]  = 0 für  . Damit haben wir eine Darstellung des Nullvektors mit . Es gibt aber noch eine weitere, nämlich

0 = 0+ ... +0.

nach Vor. ist die Darstellung aber eindeutig, also gilt:  [mm] w_{1}= [/mm] 0 für i = 1, ..., k

3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1:

Vor: V = $ [mm] W_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] W_{k} [/mm] $ und: Ist $ [mm] w_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] w_{k} [/mm] $ = 0

> für $ [mm] w_{i} \in W_{i}, [/mm] $ so folgt $ [mm] w_{i} [/mm] $ = 0 $ [mm] \forall [/mm] $ 1 $ [mm] \le [/mm] $ i $ [mm] \le [/mm] $
> k

Bew:  Ist sofort klar weil das folgt schon aus der Definition

Ist das so richtig oder lieg ich da völlig daneben?

Wär echt nett, wenn ihr nochmal drüber schauen könntet!

Danke




Bezug
                                        
Bezug
Aufgabe zur Summe von UVRs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Fr 21.11.2008
Autor: angela.h.b.


> [mm]1\Rightarrow2:[/mm]
>  
> Vor: V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k} [/mm], dh.
>  > (i)V = [mm]W_{1}[/mm] +...+ [mm]W_{k}[/mm]

>  >                     (ii): von Null verschiedene Vektoren
>  [mm]w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k}[/mm]
>  > sind linear

> unabhängig
>  
> Zu zeigen:
>  Jedes v [mm]\in[/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = [mm]w_{1}+[/mm] ...
> [mm]+w_{k}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i} [/mm],
>  
> d.h. jedes V ist darstellbar, und die Darstellung ist
> eindeutig.
>  
> Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
>  
> Zur Darstellbarkeit habe ich mir überlegt, dass die V =
> [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k}[/mm] eine Basis bilden

Hallo,

??? ich glaube, Du hast Dir dazu was anderes überlegt, als das, was Du chreibst.

Aber da V die direkte Summe der [mm] W_i [/mm] ist, ist V insbesondere die Summe der [mm] W_i, [/mm] und damit ist v so darstellbar - nach Def. der Summe von Vektorräumen.



und somit

> jeder Vektor v Element V darstellbar ist, aber sicher bin
> ich mir hier nicht.
>  
> Zur Eindeutigkeit:
>  
> Angenommen: Sei [mm]v\in[/mm] V und [mm]\lambda_{i},\mu_{i} \in \IR[/mm]
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}w_{i}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{k} \mu_{i}w_{i}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{k} (\lambda_{i}[/mm] -
> [mm]\mu_{i})w_{i}=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] wg der linearen Unabhängigkeit von  [mm]w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k}[/mm]
> :
>  
> [mm]\lambda_{i}[/mm] = [mm]\mu_{i}[/mm] f.a. i= 1,...,k
>  
> 2 [mm]\Rightarrow[/mm] 3:
>  
> Vor: Jedes v [mm]\in[/mm] V ist eindeutig darstellbar als v  =
> [mm]w_{1}+[/mm] ... [mm]+w_{k}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i} [/mm].
>
> Dann folgt schon mal:   V = [mm]W_{1}[/mm] + ... + [mm]W_{k}[/mm]
>
> Sei  [mm]w_{1}+[/mm] ... [mm]+w_{k}[/mm]  = 0 für  . Damit haben wir eine
> Darstellung des Nullvektors mit . Es gibt aber noch eine
> weitere, nämlich
>
> 0 = 0+ ... +0.
>
> nach Vor. ist die Darstellung aber eindeutig, also gilt:  
> [mm]w_{1}=[/mm] 0 für i = 1, ..., k
>
> 3 [mm]\Rightarrow[/mm] 1:
>  
> Vor: V = [mm]W_{1}[/mm] + ... + [mm]W_{k}[/mm] und: Ist [mm]w_{1}[/mm] + ... + [mm]w_{k}[/mm] =
> 0
>  > für [mm]w_{i} \in W_{i},[/mm] so folgt [mm]w_{i}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i

> [mm]\le[/mm]
>  > k

>
> Bew:  Ist sofort klar weil das folgt schon aus der
> Definition

Die lineare Unabhängigkei beliebiger [mm] w_i \W_i [/mm] mußt Du noch herausarbeiten, also genau begründen, warum aus [mm] \summe\lambda_iw_i=0 [/mm] folgt, daß die [mm] \lambda_i [/mm] alle =0 sind.

Gruß v. Angela

>  
> Ist das so richtig oder lieg ich da völlig daneben?
>  
> Wär echt nett, wenn ihr nochmal drüber schauen könntet!
>  
> Danke
>  
>
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de