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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1: Vorbereitung Klausur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Mo 07.09.2020
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe
Begrunden Sie kurz, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:

i Seien X und Y Mengen. Es gilt X \ (X \ Y ) = Y

ii Seien A, B und C Mengen. Es gilt die Aquivalenz A [mm] \subseteq [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] (A [mm] \subseteq [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \subseteq [/mm] C)

iii Auf einer Menge mit genau zwei Elementen gibt es genau 16 verschiedene Relationen

iv  Auf einer Menge mit genau zwei Elementen gibt es genau 4 verschiedene Relationen

v Die Menge {(x, y) ∈ Z × Z | x + y = 2} beschreibt eine Aquivalenzrelation

vi Die Menge {a, b} ist eine Teilmenge der Menge {{a, b}, c, d}



zu Aufgabe 1)

i) Diese Aussage ist falsch, es handelt sich hierbei um die leere Menge.

ii) Diese Aussage ist wahr.

iii) Diese Aussage ist wahr.

iv) Diese Aussage ist falsch.

v) Diese Ausage ist falsch.

vi) Diese Aussage ist wahr.


Für eine schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mo 07.09.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Begrunden Sie kurz, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:

Du sollst also deine Aussagen begründen… und nicht nur hinschreiben.
Davon hast du nichts gemacht.

Bisher also: 0 Punkte.

> i) Diese Aussage ist falsch

Das stimmt zwar… die Begründung

> , es handelt sich hierbei um die leere Menge.

Ist aber Schmu…

  

> ii) Diese Aussage ist wahr.

[ok]
  

> iii) Diese Aussage ist wahr.
>  
> iv) Diese Aussage ist falsch.

Gib die doch mal an…

  

> v) Diese Ausage ist falsch.

Wieso?

> vi) Diese Aussage ist wahr.

Nein, ist sie nicht…

Gruß,
Gono

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Bezug
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1: Danke für die Antwort !
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Mo 07.09.2020
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe
i Seien X und Y Mengen. Es gilt X \ (X \ Y ) = Y

iii Auf einer Menge mit genau zwei Elementen gibt es genau 16 verschiedene Relationen

iv  Auf einer Menge mit genau zwei Elementen gibt es genau 4 verschiedene Relationen

v Die Menge {(x, y) ∈ Z × Z | x + y = 2} beschreibt eine Aquivalenzrelation

vi Die Menge {a, b} ist eine Teilmenge der Menge {{a, b}, c, d}

Meine korrigierten Antworten:

i) Diese Aussage ist falsch, da  X \ (X \ Y ) weder Elemente aus X noch Elemente aus Y enthält. Es handelt sich also (wie bereits gesagt) um die leere Menge.
(falls diese Formulierung wieder falsch ist bitte ich um einen Vorschlag, wie ich es besser schreiben könnte.

iii + iV) Ich habe mich vertan, die Anwort "gibt es genau 16 verschiedene Relationen" war falsch, die Anwort "gibt es genau 4 Relationen" ist die richtige. Diese wären (x,x), (x,y) (y,x) und (y,y).

v) Ich habe da Probleme eine Lösung zu finden. Symmetrisch würde ja bedeuten x + x = 2, reflexiv würde beuten x + y = 2 = y + x. Wie ich in diesem Fall transitiv oder nicht nachweiße weiß ich nicht, bitte daher dringend um Hinweise zur Lösung.

vi) Warum ist dies keine Teilmenge ? {a,b} ist doch in {{a,b},c,d} enthalten.

Ich habe diese Frage auf keiner anderen Website gestellt

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Bezug
Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Mo 07.09.2020
Autor: chrisno


> i Seien X und Y Mengen. Es gilt X \ (X \ Y ) = Y
>  
> iii Auf einer Menge mit genau zwei Elementen gibt es genau
> 16 verschiedene Relationen
>  
> iv  Auf einer Menge mit genau zwei Elementen gibt es genau
> 4 verschiedene Relationen
>  
> v Die Menge {(x, y) ∈ Z × Z | x + y = 2} beschreibt eine
> Aquivalenzrelation
>  
> vi Die Menge {a, b} ist eine Teilmenge der Menge {{a, b},
> c, d}
>  Meine korrigierten Antworten:
>  
> i) Diese Aussage ist falsch, da  X \ (X \ Y ) weder
> Elemente aus X noch Elemente aus Y enthält.

Das stimmt nicht. Geh langsamer voran. Nimm ein Beipiel:
X = {a, b, c}   Y ={c}
X \ Y = .....

>  
> iii + iV) Ich habe mich vertan, die Anwort "gibt es genau
> 16 verschiedene Relationen" war falsch, die Anwort "gibt es
> genau 4 Relationen" ist die richtige. Diese wären (x,x),
> (x,y) (y,x) und (y,y).
>  
> v) Ich habe da Probleme eine Lösung zu finden. Symmetrisch
> würde ja bedeuten x + x = 2, reflexiv würde beuten x + y
> = 2 = y + x. Wie ich in diesem Fall transitiv oder nicht
> nachweiße weiß ich nicht, bitte daher dringend um
> Hinweise zur Lösung.

Gehe geordneter vor.
- Symetrie: Es gibt genau ein Paar aus Z x Z, für das diese Bedingung überprüft werden muss.
Sie ist erfüllt.
- Reflexivität: Du musst zeigen: Wenn x + y = 2, dann ist auch y + x = 2.
Das gilt nach welchem Gesetz?
- Transitivität: Du musst zeigen: Wenn x + y = 2 und y + z = 2, dann ist auch x + z = 2
Löse die erste Gleichung nach y auf und setze in die zweite Gleichung ein. Dann .....!



>  
> vi) Warum ist dies keine Teilmenge ? {a,b} ist doch in
> {{a,b},c,d} enthalten.

Erarbeite den Unterschied zwischen Teilmenge und Element.

>  
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Website gestellt


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Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:32 Di 08.09.2020
Autor: tobit09

Hallo chrisno!


> > v)

> - Symetrie: Es gibt genau ein Paar aus Z x Z, für das
> diese Bedingung überprüft werden muss.

Diese Aussage kann ich leider nicht nachvollziehen. Unabhängig davon, ob du hier Symmetrie oder Reflexivität meinst: Beide Eigenschaften treffen hier Aussagen über unendlich viele Paare.


>  - Reflexivität: Du musst zeigen: Wenn x + y = 2, dann ist
> auch y + x = 2.

Hier meinst du offenbar Symmetrie statt Reflexivität.


>  - Transitivität: Du musst zeigen: Wenn x + y = 2 und y +
> z = 2, dann ist auch x + z = 2

Ich würde eher schreiben: "Du musst zeigen oder widerlegen" statt "Du musst zeigen"... ;-)


Wenn man die Reflexivität korrekt untersucht hat, kann man sich eine Untersuchung der Symmetrie und Transitivität zur Lösung der Aufgabe übrigens sparen. Dennoch eine sinnvolle Übung, auch diese Eigenschaften zu untersuchen.


Viele Grüße
Tobias

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Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:45 Di 08.09.2020
Autor: chrisno

Nachdem ich so viel Mist geschrieben habe, versuche ich es nun eine Version besser.
Es gibt zwei Ansätze:
1.
Vermutung: Es ist eine Äquivalenzrelation, dann müssen die Eigenschaften transitiv, reflexiv und symmetrisch für alle x, y, z aus [mm] $\IZ$ [/mm] gezeigt werden.

2.
Vermutung: es ist keine Äquivalenzrelation, dann muss nur ein Gegebeispiel zu einer der Eigenschaften gezeigt werden.

Zu 1.:
Wenn x + y = 2, dann ist auch y + x = 2, also ist die Symmetrie gegeben, da die Addition kommutativ ist.
Als nächstes die Reflexivität:
Für alle $x [mm] \in \IZ$ [/mm] soll gelten x ~ x, also x + x = 2
Damit landet man bei

2.
Sei x = 0, dann gilt diese Beziehung nicht. (0,0) ist nicht in {(x, y) ∈ Z × Z | x + y = 2}
Damit ist ein Gegenbeispiel gegeben.

Entsprechend sieht es für die Transitivität aus:
Es soll gelten:
Wenn
x + y = 2 und y + z = 2, dann ist auch x + z = 2
ein Gegenbeispiel
0 + 2 = 2 und 2 + 0 = 2, aber $ 0 + 0 [mm] \ne [/mm] 2$


Bezug
                        
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Aufgabenblatt 2, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Di 08.09.2020
Autor: tobit09

Hallo ireallydunnoanything!

> iii + iV) Ich habe mich vertan, die Anwort "gibt es genau
> 16 verschiedene Relationen" war falsch, die Anwort "gibt es
> genau 4 Relationen" ist die richtige. Diese wären (x,x),
> (x,y) (y,x) und (y,y).

Nein.

Betrachten wir also eine beliebige zweielementige Menge $X$, deren verschiedene Elemente wir $x$ bzw. $y$ nennen, also [mm] $X=\{x,y\}$. [/mm]

Dann ist z.B. $(x,y)$ ein Paar von Elementen von $X$, also ist $(x,y)$ ein ELEMENT des kartesischen Produkts [mm] $X\times [/mm] X$, in Zeichen: [mm] $(x,x)\in X\times [/mm] X$.

Damit $(x,y)$ eine Relation auf X wäre, müsste $(x,y)$ eine TEILMENGE des kartesischen Produkts [mm] $X\times [/mm] X$ sein, in Zeichen müsste also [mm] $(x,y)\subseteq X\times [/mm] X$ gelten.
Möglicherweise ist (das hängt von eurer genauen Definition eines Paares ab) $(x,y)$ jedoch nicht einmal eine Menge.

Hingegen ist die einelementige Menge [mm] $\{(x,y)\}$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $X\times [/mm] X$ (denn: Für alle Elemente [mm] $a\in \{(x,y)\}$ [/mm] gilt [mm] $a\in X\times [/mm] X$. Das ist schnell verifiziert: Es gibt nur ein Element [mm] $a\in\{(x,y)\}$, [/mm] nämlich $a=(x,y)$.) und somit eine Relation auf $X$.

Ein weiteres Beispiel für eine Relation auf $X$ wäre z.B. [mm] $\{(x,x),(x,y), (y,x)\}$. [/mm]

Viele Grüße
Tobias

Bezug
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