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Forum "Algebra" - Aufgabenblatt 7.1
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Aufgabenblatt 7.1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Fr 01.01.2021
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe 1
Es sei G eine Gruppe und N sei eine normale Untergruppe von G. Zeigen Sie, dass G/N genau dann abelsch ist, wenn [G, G] < N. Insbesondere ist G/[G, G] abelsch.

Aufgabe 2
Es sei G eine einfache, nicht-abelsche Gruppe und A sei eine abelsche Gruppe. Beweisen Sie, dass alle Homomorphismen f : G → A trivial sind.

zu Aufgabe 1) Mir fehlt noch das grundlegende Verständnis was eine "normale Untergruppe" ist. Könnte mir das jemand erklären und mir helfen einen Ansatz für diese Aufgabe zu finden ? Abelsch ist klar: das bedeutet a*b = b*a (wenn die Verknüpfung die Multiplikation ist).

zu Aufgabe 2) Hier fehlt mir auch jeglicher Ansatz, den ich brauche, um die Aufgabe zu lösen. Homomorphismus ist klar, dass bedeutet f(x+y)/f(x*y) = f(x) + f(y)/f(x)*f(y). Über eine Erklärung und den Ansatz zu dieser Aufgabe wäre ich sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufgabenblatt 7.1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Fr 01.01.2021
Autor: statler

Hi!

> Es sei G eine Gruppe und N sei eine normale Untergruppe von
> G. Zeigen Sie, dass G/N genau dann abelsch ist, wenn [G, G]
> < N. Insbesondere ist G/[G, G] abelsch.

>  Es sei G eine einfache, nicht-abelsche Gruppe und A sei
> eine abelsche Gruppe. Beweisen Sie, dass alle
> Homomorphismen f : G → A trivial sind.

>  zu Aufgabe 1) Mir fehlt noch das grundlegende Verständnis
> was eine "normale Untergruppe" ist. Könnte mir das jemand
> erklären und mir helfen einen Ansatz für diese Aufgabe zu
> finden ? Abelsch ist klar: das bedeutet a*b = b*a (wenn die
> Verknüpfung die Multiplikation ist).

Normal bedeutet, daß aN = Na für alle a [mm] $\in$ [/mm] G ist. Wenn G/N abelsch ist, dann ist aN [mm] $\cdot$ [/mm] bN = bN [mm] $\cdot$ [/mm] aN, also abN = baN, also [mm] a^{-1}b^{-1}abN [/mm] = N, und das ist genau das, was du brauchst.

>  
> zu Aufgabe 2) Hier fehlt mir auch jeglicher Ansatz, den ich
> brauche, um die Aufgabe zu lösen. Homomorphismus ist klar,
> dass bedeutet f(x+y)/f(x*y) = f(x) + f(y)/f(x)*f(y). Über
> eine Erklärung und den Ansatz zu dieser Aufgabe wäre ich
> sehr dankbar.

Wenn G keine Normalteiler hat, ist jeder Homomrphismus injektiv oder trivial. Injektiv kann er hier nicht sein, da A abelsch ist und G nicht, also ist er trivial.

Gruß D


Bezug
                
Bezug
Aufgabenblatt 7.1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:35 Sa 02.01.2021
Autor: ireallydunnoanything

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das hilft mir auf jeden Fall weiter.

Gruß

Alex

Bezug
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