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ich habe eine einfache frage, wie leite ich 2^(x+1) auf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Do 17.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo einszwovier,
> ich habe eine einfache frage, wie leite ich 2^(x+1) auf
>
Du suchst also eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=2^{x+1}$. [/mm] Bei solchen Funktionen, wo das $x$ (die "Funktionsvariable") im Exponenten steht, schadet es nicht, wenn man an die Exponentialfunktion denkt. Wir schreiben also [m]2^{x+1}[/m] mal ein bisschen um:
(*) [m]2^{x+1}={(e^{ln(2)})}^{x+1}[/m], und jetzt wende ich eine Rechenregel an, nämlich:
(**) [m](e^a)^b=e^{a*b}[/m] für alle [m]a,b \in \IR[/m].
Wir wenden (**) in (*) an und erhalten:
(I) [m]2^{x+1}={(e^{ln(2)})}^{x+1}=e^{(ln(2))*(x+1)}=e^{(x+1)*ln(2)}=e^{x*ln(2)+ln(2)}[/m]
Wegen (I) wissen wir also nun:
[m]f(x)=e^{x*ln(2)+ln(2)}[/m]
Das ist sehr schön, denn irgendwie taucht da die $e-$Funktion auf. Das ist deshalb schön, weil wir für diese Funktion schnell eine Stammfunktion hinschreiben können. Irgendwie ist die $e-$Funktion hier eine äußere Funktion, denn wenn man in [mm] $e^x$ [/mm] das $x$ durch $x*ln(2)+ln(2)$ austauscht, dann steht auch schon unser [m]f(x)=e^{x*ln(2)+ln(2)}(=2^{x+1})[/m] da.
Also:
Wir definieren [mm] $u(x):=e^x$ [/mm] und $v(x)$ so, dass, wenn man in $u(x)$ das $x$ durch $v(x)$ ersetzt, gerade [mm] $e^{x*ln(2)+ln(2)}$ [/mm] erhält, mit anderen Worten:
$v(x):=x*ln(2)+ln(2)$.
Damit wir das mal alles beisammen haben:
1.) [m]f(x)=e^{x*ln(2)+ln(2)}(=2^{x+1})[/m]
2.) [mm] $u(x):=e^x$
[/mm]
3.) $v(x):=x*ln(2)+ln(2)$
Nun gilt:
4.) $f(x)=u(v(x))$.
Weiter gilt nun für alle $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
$v'(x)=ln(2) [mm] \not=0$. [/mm] Das ist auch schön, dass auf der rechten Seite der Gleichung von $v'$ kein $x$ mehr auftaucht (sondern nur noch $ln(2)$, was [mm] $\not=0$ [/mm] ist), denn dann können wir 4.) wieder etwas umschreiben:
[mm]f(x)=u(v(x))*\frac{ln(2)}{ln(2)}
\gdw[/mm]
[mm]f(x)=\frac{1}{ln(2)}*u(v(x))*ln(2)
\gdw
[/mm]
4.1) [m]f(x)=\frac{1}{ln(2)}*u(v(x))*v'(x)[/m]
Wenn wir nun eine Stammfunktion $U$ von $u$ kennen und an die Kettenregel denken, so solltest du 4.1) ansehen, dass eine Stammfunktion von $f$ gegeben ist durch:
5.) [mm] $F(x)=\frac{1}{ln(2)}*U(v(x))$ [/mm] (beachte wieder: $ln(2) [mm] \not=0$).
[/mm]
Nun war [mm] $u(x)=e^x$, [/mm] also ist mit [mm] $U(x):=e^x$ [/mm] eine Stammfunktion zu $u$ gegeben.
Mit 5.), der eben gefundenen Funktion $U$ und 3.) erhalten wir also folgende Stammfunktion:
[mm] $F(x)=\frac{1}{ln(2)}*U(v(x))=\frac{1}{ln(2)}*e^{x*ln(2)+ln(2)}$
[/mm]
(Man kann auch noch weitere Umformungen machen:
[mm] $F(x)=\frac{1}{ln(2)}*e^{x*ln(2)+ln(2)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{ln(2)}*e^{(x+1)*ln(2)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{ln(2)}*e^{(ln(2))*(x+1)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{ln(2)}*(e^{ln(2)})^{x+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{ln(2)}*2^{x+1}$.)
[/mm]
PS:
Zur Probe solltest du $F$ mal ableiten (Kettenregel), durch ein paar kleine Umformungen solltest du dann feststellen, dass [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $F'(x)=2^{x+1}$ [/mm] gilt.
Viele Grüße
Marcel
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