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Forum "Integralrechnung" - Aufleiten eines Bruches
Aufleiten eines Bruches < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufleiten eines Bruches: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Di 17.02.2015
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>Leiten Sie folgende Funktion auf sowohl mit der Substitution als auch mit der Partiellen Integration

f(x)=[mm] \frac{a}{b} [/mm]  a=x-1    b=x+1
 


<br>Ich habe beide Verfahren ausprobiert, die Ergebnisse sind leider nicht identisch. Irgendwo ist mir ein Fehler unterlaufen:

Substitution:
z=x+1     z' = 1
f(x)= (x-1)* 1/z
[mm] \int_{a}^{b}{(x-1)*1/z dx} [/mm]
dz/dx = 1     dx=dz/1

= [(x-1)*ln(x+1)]


Partielle Integration:
u=x-1     v=ln(x+1)
u'= 1     v'= 1/(x+1)

= (x-1)ln(x+1)-[mm] \int_{a}^{b}{1*ln(x+1) dx} [/mm]
=(x-1)ln(x+1)-ln(x+1)
=ln(x+1[(x-1)-1)]
=ln(x+1)[(x-2)]
=x-2ln(x+1)

Über entsprechende Hilfe-Tipps wäre ich sehr dankbar
MfG
wolfgangmax



 

        
Bezug
Aufleiten eines Bruches: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Di 17.02.2015
Autor: abakus


> <br>Leiten Sie folgende Funktion auf sowohl mit der
> Substitution als auch mit der Partiellen Integration

>

> f(x)=[mm] \frac{a}{b} [/mm]  a=x-1    b=x+1
>  

>

> <br>Ich habe beide Verfahren ausprobiert, die Ergebnisse
> sind leider nicht identisch. Irgendwo ist mir ein Fehler
> unterlaufen:

>

> Substitution:
> z=x+1     z' = 1
> f(x)= (x-1)* 1/z
> [mm]\int_{a}^{b}{(x-1)*1/z dx} [/mm]

Hallo,
ist das grausige Unwort "Aufleiten" tatsächlich Teil der Originalaufgabe?
Aber das nur nebenbei.
Dein Zähler (x-1) ist um 2 kleiner als der Nenner (x+1). Wenn du den Nenner mit z bezeichnest, musst du den Zähler als z-2 bezeichen.
Keinesfalls darfst du (x-1) als konstanten Faktor behandeln.
Zur Kontrolle: Du kannst deinen Bruch umschreiben zu [mm] \frac{x-1}{x+1}= \frac{x+1-2}{x+1}= \frac{x+1}{x+1} -\frac{2}{x+1}=1 -\frac{2}{x+1}[/mm]
Eine Stammfunktion davon ist x-2ln(x+1).
Gruß Abakus

> dz/dx = 1     dx=dz/1

>

> = [(x-1)*ln(x+1)]

>
>

> Partielle Integration:
> u=x-1     v=ln(x+1)
> u'= 1     v'= 1/(x+1)

>

> = (x-1)ln(x+1)-[mm] \int_{a}^{b}{1*ln(x+1) dx} [/mm]

>

> =(x-1)ln(x+1)-ln(x+1)
> =ln(x+1[(x-1)-1)]
> =ln(x+1)[(x-2)]
> =x-2ln(x+1)

>

> Über entsprechende Hilfe-Tipps wäre ich sehr dankbar
> MfG
> wolfgangmax

>
>
>

>  

Bezug
                
Bezug
Aufleiten eines Bruches: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:30 Mi 18.02.2015
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>
 


<br>Herzlichen Dank für die Information.
Ich habe noch eine Frage: Ist der Lösungsweg der Aufgabe mit Hilfe der Partiellen Integration fehlerfrei?
Vielen Dank im Voraus
MfG
wolfgangmax

Bezug
                        
Bezug
Aufleiten eines Bruches: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 Mi 18.02.2015
Autor: fred97


> <br>
>   
>  
> <br>Herzlichen Dank für die Information.
>  Ich habe noch eine Frage: Ist der Lösungsweg der Aufgabe
> mit Hilfe der Partiellen Integration fehlerfrei?

Nein. Ich zitiere Deine Lösung:


> Partielle Integration:
> u=x-1     v=ln(x+1)
> u'= 1     v'= 1/(x+1)

>

> = (x-1)ln(x+1)-$ [mm] \int_{a}^{b}{1\cdot{}ln(x+1) dx} [/mm] $

Hier sollte = (x-1)ln(x+1)-$ [mm] \int_{}^{}{1\cdot{}ln(x+1) dx} [/mm] $ stehen, also ohne a,b.



>

> =(x-1)ln(x+1)-ln(x+1)

Das stimmt nicht. ln(x+1) ist keine Stammfunktion von [mm] \ln(x+1). [/mm]


> =ln(x+1[(x-1)-1)]
> =ln(x+1)[(x-2)]
> =x-2ln(x+1)

Hier hast Du falsch ausmultipliziert.

Komischerweise hast Du das richtige Resultat: x-2ln(x+1) eine Stammfunktion von f.

FRED





>  Vielen Dank im Voraus
>  MfG
>  wolfgangmax


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