Aufleitungsproblem < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
diese AUfgabe bereitet mir Probleme ,
kann mir mal jemand Schritt für Schritt erklären wie man dadran geht.
Ich versuchs erst mal selber
Aufleitung gesucht.
f(x)=x/(sqrt(2x+1))
ich wähle z=2x+1
z'=2
wie ich es gelernt habe versuche ich im Zähler nach einer 2 zu suchen und finde aber keine  .
dann versuche ich den Zähler umzuformen.
Geht aber auch nicht.(Ich könnte höchstens durch x teilen und dann x durch einen term mit z ersetzen.darf man aber nicht)
Ich weiß jetzt nicht wie ich den Zähler zu einer ableitung von z umformen soll.
Bitte algemein erklären, so dass ich es auch auf andere AUfgaben anwenden kann.
Danke
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Hallo philipp-100,
> Aufleitung gesucht.
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> [mm]f(x) := \frac{x}{\sqrt{2x+1}}[/mm]
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> ich wähle z=2x+1
> z'=2
Unser Ziel ist es mittels Substitution den Zähler des Integranden zu vereinfachen. Dazu setzen wir [mm]\sqrt{2x + 1} =: z[/mm]. Jetzt formen wir nach [mm]x[/mm] um:
[mm]\sqrt{2x + 1} = z \gdw 2x+1 = z^2 \gdw 2x = z^2 - 1 \gdw x = \frac{z^2 - 1}{2}[/mm]
Jetzt betrachten wir das als eine Funktion und definieren ("setzen"):
[mm]x(z) := \frac{z^2 - 1}{2}[/mm]
Nach der Substitutionsregel für Integration müssen wir jetzt noch die Ableitung davon bestimmen:
[mm]x'(z) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{z^2}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot{2}z = z[/mm]
Nun ersetzen wir [mm]\mathrm{d}x[/mm] durch [mm]z\mathrm{d}z[/mm] und erhalten:
[mm]\int{\frac{x}{\sqrt{2x+1}}\mathrm{d}x} = \int{\frac{\frac{z^2 - 1}{2}}{z}z\mathrm{d}z} = \int{\frac{z^2 - 1}{2}\mathrm{d}z} = \frac{1}{2}\left(\int{z^2\mathrm{d}z}-\int{1\mathrm{d}z}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{z^3}{3}-z\right)[/mm]
Jetzt erinnern wir uns daran wie wir [mm]z[/mm] am Anfang definiert hatten, und setzen es hier ein:
[mm]= \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2x+1}^3}{3} - \sqrt{2x+1}\right)[/mm]
Durch Erweiterung des zweiten Bruches mit 3 und anschließendem Ausklammern von [mm]\sqrt{2x+1}[/mm] sollte sich dieser Term noch etwas vereinfachen lassen. Damit ist die Integration mit Substitution beendet.
Viele Grüße
Karl
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Hey und danke Karl,
jetzt habe ich das endlich verstanden.Ich wusste nicht das die Regel besagt , dass man alles mit der ABleitung von x multiplizieren muss.
Das was jetzt ganz unten steht ist ja die Aufleitung, ich sollte den ursprünglichen Term von 0 bis 4 integrieren .
EIngesetzt in z ergibt das die Integrationsgrenze 1bis3.
Wenn ich aber unten 1 und 3 einsetze komme ich nicht auf die Lösung.
Mach ich noch was falsch?
Lösung muss sein=3+1/3
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Hi, philipp,
> jetzt habe ich das endlich verstanden.Ich wusste nicht das
> die Regel besagt , dass man alles mit der ABleitung von x
> multiplizieren muss.
> Das was jetzt ganz unten steht ist ja die Aufleitung, ich
> sollte den ursprünglichen Term von 0 bis 4 integrieren .
Und da Karl rücksubstituiert hat, d.h. die ursprünglich Variable x wieder dasteht, musst Du auch genau diese Zahlen (4 und 0) einsetzen: Dann kriegst Du das gewünschte Ergebnis!
> EIngesetzt in z ergibt das die Integrationsgrenze 1bis3.
> Wenn ich aber unten 1 und 3 einsetze komme ich nicht auf
> die Lösung.
> Mach ich noch was falsch?
> Lösung muss sein=3+1/3
Wenn Du die neuen Grenzen für z (!!!) berechnest, brauchst Du gar nicht rückzusubstituieren, sondern setzt diese Zahlen (also 3 und 1) bereits in den Term
[mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{z^{3}}{3} [/mm] - z)
ein und bekommst dann natürlich auch dasselbe Ergebnis von 3+1/3.
mfG!
Zwerglein
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Danke Zwerglein.
Jetzt weiß ich wie es geht.
Aber heute stand ich echt nur auf dem Schlauch .
Gruß
Philipp
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