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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 So 22.02.2015 | | Autor: | MrFalki |
| Aufgabe | | An welchen Stellen erreicht die Funktion f(x)=20t*e^(-0,5t) den Wert 4? |
Bei dieser Fragestellung müsste man ja f(x)=4 setzen und hätte somit die Gleichung 4=20t*e^(-0,5t).
An dieser Stelle komme ich nicht weiter, da man das ganze ja mit dem natürlichen Logarithmus angehen würde(müsste?), aber dann ja da auch stehen würde ln(20t) und das bringt einem ja nicht.
Mit Geogebra hab ich das ganze mal geplottet und auf ungefähre Ergebnisse von t1=~0,22 und t2=~7,15
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MrFalki
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> An welchen Stellen erreicht die Funktion f(x)=20t*e^(-0,5t) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> den Wert 4?
Du solltest dich entscheiden, ob nun die Variable mit x oder
mit t bezeichnet werden soll. Kuddelmuddel geht nicht !
> Bei dieser Fragestellung müsste man ja f(x)=4 setzen und
> hätte somit die Gleichung 4=20t*e^(-0,5t).
>
> An dieser Stelle komme ich nicht weiter, da man das ganze
> ja mit dem natürlichen Logarithmus angehen
> würde(müsste?), aber dann ja da auch stehen würde
> ln(20t) und das bringt einem ja nicht.
Durch Logarithmieren könnte man diese Gleichung
zwar auf eine andere Form bringen, aber nicht vereinfachen.
> Mit Geogebra hab ich das ganze mal geplottet und auf
> ungefähre Ergebnisse von t1=~0,22 und t2=~7,15
Das ist keine schlechte Idee. Man kann die Gleichung nicht
formal exakt lösen, sondern nur mittels eines Näherungsver-
fahrens. In Frage käme dazu beispielsweise das Intervall-
halbierungsverfahren oder (besser, weil weniger Schritte
für eine gewünschte Genauigkeit erforderlich) das
![[]](/images/popup.gif) Verfahren von Newton-Raphson
LG , Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 22.02.2015 | | Autor: | abakus |
> An welchen Stellen erreicht die Funktion f(x)=20t*e^(-0,5t)
> den Wert 4?
Hallo,
zum Thema "Abiturvorbereitung" übersteigt die Fragestellung das normalerweise hilfsmittelfrei zu leistende.
Arbeite ihr normalerweise mit einem grafikfähigen Taschenrechner?
> Bei dieser Fragestellung müsste man ja f(x)=4 setzen und
> hätte somit die Gleichung 4=20t*e^(-0,5t).
>
> An dieser Stelle komme ich nicht weiter, da man das ganze
> ja mit dem natürlichen Logarithmus angehen
> würde(müsste?), aber dann ja da auch stehen würde
> ln(20t) und das bringt einem ja nicht.
>
> Mit Geogebra hab ich das ganze mal geplottet und auf
> ungefähre Ergebnisse von t1=~0,22 und t2=~7,15
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 So 22.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> An welchen Stellen erreicht die Funktion f(x)=20t*e^(-0,5t)
> den Wert 4?
> Bei dieser Fragestellung müsste man ja f(x)=4 setzen und
> hätte somit die Gleichung 4=20t*e^(-0,5t).
Ja, und die lässt sich nur "exakt" lösen wenn du die Lambertsche W-Funktion ins Spiel bringst. Diese ist die Umkehrfunktion von [mm] $f(x)=x*e^x$.
[/mm]
[mm] $20*t*e^{-\br{t}{2}}=4$
[/mm]
[mm] $-\br{t}{2}*e^{-\br{t}{2}}=-\br{1}{10}$
[/mm]
[mm] $-\br{t}{2}=W\left(-\br{1}{10}\right)$
[/mm]
[mm] $t=-2*W\left(-\br{1}{10}\right)\approx0,22366511831$
[/mm]
Ein zweiter Zweig der W-Funktion liefert dann die Lösung $7,15430413$.
Allerdings denke ich auch, dass hier wohl eher die Anwendung eines Näherungsverfahrens gemeint ist, wobei ich mir schwer vorstellen kann, dass heutzutage noch bei einem Abitur das stupide runterrechnen einer Bisektion oder eines Newton verlangt wird. Viel eher ist wohl der sinnvolle Einsatz moderner Rechenhilfen gefragt.
Jedenfalls ist das Zeichnen der Funktion ein sehr guter erster Schritt um danach ein Näherungsverfahren sinnvoll einzusetzen.
Geogebra bietet dazu zum Beispiel die Funktion Nullstellen[] oder im CAS Fenster die Funktion NSolve[]. Solve[] versagt hier, Geogebra scheint die LambertW-Funktion nicht zu kennen.
Gruß RMix
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> > An welchen Stellen erreicht die Funktion f(x)=20t*e^(-0,5t)
> > den Wert 4?
> > Bei dieser Fragestellung müsste man ja f(x)=4 setzen
> und
> > hätte somit die Gleichung 4=20t*e^(-0,5t).
>
> Ja, und die lässt sich nur "exakt" lösen wenn du die
> Lambertsche W-Funktion ins Spiel bringst. Diese ist die
> Umkehrfunktion von [mm]f(x)=x*e^x[/mm].
Hallo RMix,
mit solchen Lambert-Funktionen hatte ich bisher noch
nie zu tun, obwohl ich (als Dipl. Math. ETH und Gymnasial-
lehrer) Mathematik und Angewandte Mathematik für drei-
einhalb Jahrzehnte unterrichtet habe. Dass Lambertfunktionen
im Rahmen von Matheaufgaben der gymnasialen Oberstufe
vorausgesetzt würden, ist wohl nirgends der Fall.
Im Prinzip könnte man aber ja noch für viele weitere Klassen
nicht formal exakt lösbarer Gleichungen gewisse spezielle
Funktionen erfinden (definieren), um sie trotzdem formal
zugänglich zu machen. Insofern ist der Begriff "formal lösbar"
für Gleichungen relativ: es kommt auf das Grundrepertoire
der zur Verfügung stehenden Funktionen an. Ich könnte mir
also z.B. überlegen, welche Sorte von Gleichungen, über
deren formale Unlösbarkeit man doch noch hie und da
stolpert, ich allenfalls durch eine neu eingeführte Klasse
von "Al-Chwarizmi-Funktionen" [mm] AlCh_{n,j} [/mm] (Ordnung n,
Unterordnung j) in den Bereich der formal lösbaren
Gleichungen eingemeinden möchte ...
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Mo 23.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> mit solchen Lambert-Funktionen hatte ich bisher noch
> nie zu tun, obwohl ich (als Dipl. Math. ETH und
> Gymnasial-
> lehrer) Mathematik und Angewandte Mathematik für drei-
> einhalb Jahrzehnte unterrichtet habe. Dass
> Lambertfunktionen
> im Rahmen von Matheaufgaben der gymnasialen Oberstufe
> vorausgesetzt würden, ist wohl nirgends der Fall.
Kann ich mir auch kaum vorstellen. Allerdings wird es durch das Vorrücken von g'scheiten und mächtigen Computeralgebra-Programmen immer wahrscheinlicher, dass auch Schüler beim Versuch, eine derartige Gleichung symbolisch lösen zu lassen, eine dieser Funktionen um die Ohren geknallt bekommen. Und da wärs kein Fehler, wenn sie das nicht ganz unvorbereitet trifft.
Gerade die Lambert W-Funktion tritt öfter auf als man glaubt und hat viele Anwendungsgebiete, u.a. auch in der Kombinatorik. Man kann sie auch des öfteren nutzen um Lösungen in "geschlossener Form" darstellen.
Aber was ist schon eine "geschlossene Form". Das ist gar kein so einfach zu definierender Begriff. Siehe dazu zum Beispiel Timothy Chow - What is a closed-form number oder bequemer auch im pdf-Format hier. Für den konkreten Zahlenwert ist man dann auf Rechenhilfen, Tabellen und Näherungen angewiesen, so wie das bei einfachen Logarithmen, trigonometrischen Funktionen, etc. ja auch der Fall ist. Nur gibts halt für die W-Funktion noch(?) kein Knopferl am TR.
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> Im Prinzip könnte man aber ja noch für viele weitere
> Klassen
> nicht formal exakt lösbarer Gleichungen gewisse
> spezielle
> Funktionen erfinden (definieren), um sie trotzdem formal
> zugänglich zu machen.
Natürlich, und das wird ja dort wo es sinnvoll erscheint auch gemacht.
Vor allem auch bei unzugänglichen Integralen gibts doch ein Fülle von zugehörigen Funktionen. Man denke nur an Dinge wie die Eulersche Betafunktion B(x,y), das hyperbolische Sinus Integral Shi(x), die Fresnel Integrale, oder die Integralexponentialfunktion Ei(x).
Alles Funktionen, die einem im Schulalltag mit ziemlicher Sicherheit nicht unterkommen werden. Trotzdem denke ich, dass Schülern nicht da Gefühl vermittelt werden sollte, das das schon alles ist, was sie da gelernt haben und das sie durchaus darauf gefasst sein sollten, dass ein CAS ihnen einmal auch die eine oder andere unbekannt erscheinende Funktion als Ergebnis liefert.
> Insofern ist der Begriff "formal
> lösbar"
> für Gleichungen relativ: es kommt auf das
> Grundrepertoire
> der zur Verfügung stehenden Funktionen an. Ich könnte
Ja, ich glaub genau deshalb hats mich gejuckt, die W-Funktion anzuführen  Aber die Definition der "formalen Lösbarkeit" ist ja nicht so einfach, s.o.
> mir
> also z.B. überlegen, welche Sorte von Gleichungen, über
> deren formale Unlösbarkeit man doch noch hie und da
> stolpert, ich allenfalls durch eine neu eingeführte
> Klasse
> von "Al-Chwarizmi-Funktionen" [mm]AlCh_{n,j}[/mm] (Ordnung n,
> Unterordnung j) in den Bereich der formal lösbaren
> Gleichungen eingemeinden möchte ...
>
Lass dich nicht aufhalten
Auch Lambert und Euler haben so begonnen.
Gruß RMix
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