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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Do 20.03.2008 | | Autor: | TimWolf |
y = [mm] \bruch{x^{2}}{x^2 - 1}
[/mm]
Ich komme bis zu diesem Punkt:
y [mm] \* (x^{2} [/mm] + 1) = [mm] x^{2}
[/mm]
Meine Lösung stimmt dann nicht mehr mit der Beispiellösung überein. Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo TimWolf,
Deine erste Umformung war richtig (und führt auch zum Ziel).
Solche Aufgaben werden also meistens nach folgendem Schema gelöst:
1. Alles auf eine Zeile bringen (Brüche eliminieren [mm] \to [/mm] natürlich nur die Brüche, wo irgendwo dein x mit eingebunden ist)
2. Möglichst alles, was mit x zu tun hat, auf eine Seite bringen, der Rest auf die andere Seite der Gleichung.
3. Dann auf der einen Seite möglichst irgendwie  diese x-Terme ausklammern (hier [mm] x^{2})
[/mm]
4. Durch den Faktor rechnen, der zusammen mit dem x-Term steht. Hier (y-1).
5. Dann noch die nötigen Rechnungen durchführen, dass links nur "x" steht und nicht "x+1" oder gar [mm] "x^{2}" [/mm] etc.
Beginnen wir also mit 1.:
[mm]y = \bruch{x^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
[mm]\gdw y*\left(x^{2}-1\right) = x^{2}[/mm]
Ab hier ist 2.:
Nun empfiehlt es sich, links auszuklammern - was anderes können wir ja gar nicht machen:
[mm]y*\left(x^{2}-1\right) = x^{2}[/mm]
[mm]\gdw y*x^{2} - y = x^{2}[/mm]
Der nächste Schritt sollte sein, alle x auf eine Seite zu bringen, da wir sie offenbar noch nicht richtig vom y trennen können:
[mm]y*x^{2} - y = x^{2}[/mm]
[mm]\gdw y*x^{2} - x^{2} - y = 0[/mm]
Nun 3.:
Nun musst du dir über die Rechnik des Ausklammerns bewusst sein:
[mm]y*x^{2} - x^{2} - y = 0[/mm]
[mm]\gdw x^{2}*(y - 1) - y = 0[/mm]
Zuletzt 4.:
Und nun fällt es nicht mehr schwer, die Aufgabe zu lösen:
[mm]x^{2}*(y - 1) - y = 0[/mm]
[mm]\gdw x^{2}*(y - 1) = y[/mm]
Hier noch 5.:
[mm]\gdw x^{2}= \bruch{y}{y-1}[/mm]
[mm]\gdw x= \pm\wurzel{\bruch{y}{y-1}}[/mm]
Fertig.
Das Plusminus in der letzten Umformung tritt auf, weil man nicht wusste ob der rechte Term vorher negativ oder positiv war: Beides ergäbe quadriert wieder [mm] \wurzel{\bruch{y}{y-1}}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Do 20.03.2008 | | Autor: | TimWolf |
Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort. Hat mir wirklich weiter geholfen, jedoch habe ich nun noch eine weitere Frage. Zwei Lösungswege:
1) y = [mm] \bruch{x^2}{x^2} [/mm] + 1
[mm] y(x^2 [/mm] + 1) = [mm] x^2
[/mm]
[mm] yx^2 [/mm] + y = [mm] x^2
[/mm]
[mm] yx^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] = -y
[mm] x^2(y-1) [/mm] = -y
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{-y}{y-1}
[/mm]
x = [mm] \wurzel{\bruch{-y}{y-1}}
[/mm]
2) Ist der Lösungsweg aus deiner Antwort. Die Ergebnisse sind unterschiedlich, aber warum? Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 20.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Liegt daran, dass ihr mit 2 unterschiedlichen Funktionen arbeitet. Im Nenner unterscheidet sich die Operatoren, einmal ist ein + und einmal ein - da! Was jetzt allerding richtig ist, weiß ich auch nich, weil in deinem 1. Post auch beide vorkommen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 20.03.2008 | | Autor: | TimWolf |
oh, richtig ist das Plus. Am besten ich schreibe noch mal beide Lösungen hin:
1)
y = [mm] \bruch{x^2}{x^2} [/mm] + 1
[mm] y(x^2 [/mm] + 1) = [mm] x^2
[/mm]
[mm] yx^2 [/mm] + y = [mm] x^2
[/mm]
[mm] yx^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] = -y
[mm] x^2(y-1) [/mm] = -y
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{-y}{y-1}
[/mm]
x = [mm] \wurzel{\bruch{-y}{y-1}}
[/mm]
2)
y = [mm] \bruch{x^2}{x^2} [/mm] + 1
[mm] y(x^2 [/mm] + 1) = [mm] x^2
[/mm]
[mm] yx^2 [/mm] + y = [mm] x^2
[/mm]
y = [mm] x^2 [/mm] - [mm] yx^2
[/mm]
y = [mm] x^2(1-y)
[/mm]
[mm] \bruch{y}{1-y} [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{y}{1-y}} [/mm] = x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Do 20.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Beide Lösungen sind gleich, da du bei 1) das - vor dem y auch vor den Zähler ziehen kannst.
Und -(y-1)=1-y!
Jedoch müsste noch ein [mm] \pm [/mm] vor jede Wurzel, dann stimmts :)
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