Auflösungsvermögen von 2Sachen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Sa 10.06.2006 | | Autor: | queza |
Ich habe mich jetzt den ganzen Tag mit dem Auflösungsvermögen von
- Fernrohr
- Mikroskop
beschäftigt.
Wenn z.B. bei einem Interferenzbild bei zwei Beugungsscheibchen (was soll das eigentlich sein) die Maxima der beiden weiter voneinander entfernt sind, als das Maximum und Minimum einer Beugungsscheibe, dann sieht man zwei helle Flecken und man kann diese unterscheiden. Das ist ja noch klar.
Aber warum betrachtet man Beugungscheiben und nicht z.B. ein Bild mit sehr feinen Linien oder die etwas anderes (z.B. die Natur).
Ich guck mir doch keine Interferenzmuster an, sondern vllt. eher Tiere in großer Entfernung ... ?!!?
Oder ist mit Beugungscheibchen einfach einer der betrachteten Punkte gemeint, der durch die Interferenz an der Linse verzerrt wird?
Wenn ja, Linsen sind doch garnicht so klein, dass eine interferenz auftritt, und umso größer die linse umso weniger interferenz tritt doch auf, wieso hat man es bei linsen die ja im vergleich zum gitter sehr breit sind mit beugung zu tun?
Mich würde interessieren, wie man mathematisch auf die Formeln kommt.
Das Auflösungsvermögen wird ja A geschrieben.
Umso größer A umso besser sieht man den Gegenstand?
Oder kann A nur 1 und 0 annehmen,
0 für nicht unterscheidbar/verschwommen
1 für scharf
ein guter Link mit mathematischer Herleitung anhand von Bildern wäre gut, ich habe mich fast totgegoogelt. (Geometrischer Beweis zB)
Irgentwie bin ich total verwirrt, ich hätte gedacht, dass es viel leichter wäre. Ich hoffe mal man kann mir das gut erklären 
Einen schönen sonnigen Tag noch und viel Spaß beim Fußballgucken :)
edit:
DIe Formel lautet ja: delta alpha = lambda / d.
Also der kleinstemöglichste Abstand für eine scharfe Auflösung = Wellenlänge durch Linsengröße.
Der kleinsmöglichste Abstand ist ja, wenn das Maximum des einen auf das Minimum des anderen fällt, enger geht's ja nicht mehr.
Diesen kleinen Winkel findet man ja auch wieder im Dreieck, welches besteht aus: gegenkathete= wellenlänge und ankathete=spaltbreite.
Da aber ja diesmal nicht wie beim doppelspalt man das dreieck für maximum auf maximum sondern ja maximum auf minimum hat, muss man dann nicht den gangunterschied auf 1/2 lambda und nicht lambda setzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Sa 10.06.2006 | | Autor: | leduart |
hallo Queza
Beugungsscheibchen sind die Scheiben, die durch Beugung hinter einem kleinen Loch entstehen. Wahscheinlich habt ihr in der Schle immer mit Spalten gearbeitet, und deshalb einen Beugungsstreifen, kein Scheibchen gesehen. Bei einem Loch hat man statt paralleler Interferenzstreifen konzentrische Beugungsringe.
dies Darstellung ist nur zur Erklärung, man kann das zwar auch sehen,(wenn man in die Brennweite der Linse einen Schirm stellt) aber es ist nicht das Bild, was man betrachtet.
Die Öffnungen der Linse sind zwar nicht winzig, allerdings sind dsie Objektivlinsen beim Mikroskop ziemlich klein, Linsen mit kleiner Brennweite kann man nicht groß herstellen, sie müssen stark gekrümmt sein, d.h. aus einer sehrkleinen Kugel abgeschnitten sein.
Öffnungen bei Fernrohren sind dem gegenüber sehr groß, dafür will man aber auch, wenigstens bei Sternen noch welche unterscheiden, die einen sehr kleinen Winkelabstand haben, und da ist eine 2m Öffnung besser als 1m!
Also die Beugungsscheibchen treten in dder Brennweite der Linse auf, das ist beim Teleskop, das auf unendlich (Sterne) eingestellt ist auch die Stelle des Zwischenbildes. Hier würdest du klassisch von 2 Sternen die man unter einem Winkel [mm] \alpha [/mm] sieht 2 scharfe Punkte erwarten, wenn du nicht an Interferenz denkst. Die Punkte wären zwar bei kleinem Winkel sehr nahe beienander, aber mit dem Okular könnt man das ja vergrößern. Wenn sich jetzt aber die 2 Nullten Maxima überlappen, d,h, das 1. Min des einen Sterns nicht wenigstens sowet weg ist, wie das 0-te Max des 2. Sterns bilden sie einfach einen Gesamtfleck und man kann sie nicht mehr unterscheiden.
Etwas schwerer ist zu sehen, dass es auch dann kein scharfes Bild mehr gibt, wenn die Strahlen nach dem Brennpunkt weiterlaufen und dann erst das Zwischenbild entsteht.
Auch unser Auge hat, je nach Öffnung der Pupille nur ein festes Auflösungsvermögen, so dass wir 2 Sterne, die zu nahe beieinander stehen nicht mehr unterscheiden können, das kann man, indem man sich von 2 nebeneinanderstehenden Stöcken immer weiter entfernt feststellen! irgendwann verschwimmen sie zu einem!
Das Auflösungsvermögen gibt an, unter welchem Winkel man 2 Punkte gerade noch unterscheiden kann.
Wenn von 2 Sternen das Licht unter dem Winkel [mm] \alpha [/mm] in das Teleskop fällt, entstehen die 0-ten Maxima auch im Winkel [mm] \alpha, [/mm] oder in der Entfernung l von Loch im Abstand a mit [mm] a/l=tan\alpha [/mm] andererseits gilt beim Spaltfür die Richtung zum 1. Min: [mm] \lambda/b =sin\alpha. [/mm] beim Loch kommt noch der Faktor 1,22 dazu also [mm] 1,22*\lambda/r =sin\alpha [/mm] weil der Winkel sehr klein ist gilt dann [mm] \alpha=1,22*?ambda [/mm] /r [mm] (\alpha [/mm] im Bogenmass).
Ich glaub das reicht erstmal, jetzt bist du wieder dran, du kannst das Auflösungsvermögen deines Auges nachts, Pupillenradius ca 5mm ausrechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 11.06.2006 | | Autor: | queza |
Soweit alles klar, nur zum mathematischen:
"andererseits gilt beim Spaltfür die Richtung zum 1. Min: $ [mm] \lambda/b =sin\alpha. [/mm] $ "
Ich dachte immer, dass beim Minimum die Phasenverschiebung nur 1/2 lambda ist, wenn man jetzt aber mit lambda rechnet, dann müsste man doch genau auf das 1. Maximum treffen.
und die beiden Winkel (einmal TAN und einmal SIN) kann man dann wieder gleichsetzen, weil es sich um kleine Winkel handelt?
Wieso stellst du a/l = tan(alpha) auf, wenn du nachher das Auflösungsvermögen anhand dem Dreieck in der Linse herleitest, und die Formel nicht mit der anderen gleichsetzen tust.
Wieso rechnet man auf einmal im Bogenmaß?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 11.06.2006 | | Autor: | queza |
Ich kann leider nicht meinen letztes Post editieren, immer nur den Haupttext.
Kann es sein, dass man die Entfernung zum Minima anhand der Formel zum Einfachspalt genommen hat?
Ich hab bis jetzt immer nur an den Doppelspalt gedacht ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 11.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo queza
> Soweit alles klar, nur zum mathematischen:
>
> "andererseits gilt beim Spaltfür die Richtung zum 1. Min:
> [mm]\lambda/b =sin\alpha.[/mm] "
>
> Ich dachte immer, dass beim Minimum die Phasenverschiebung
> nur 1/2 lambda ist, wenn man jetzt aber mit lambda rechnet,
> dann müsste man doch genau auf das 1. Maximum treffen.
An was du dich erinnerst ist der Doppelspalt. Beim Einfachstrahl heben sich im 1. Min die Schwingungen aus der einen Hälfte des Spaltes mit senen der anderen Hälfte auf, d.h. der Randstrahl mus zum nittleren Strahl den Gangunterschied [mm] \lambda [/mm] haben, dann haben aber die "Randstrahlen den Gangunterschied [mm] \lambda. [/mm]
> und die beiden Winkel (einmal TAN und einmal SIN) kann man
> dann wieder gleichsetzen, weil es sich um kleine Winkel
> handelt?
Ja
> Wieso stellst du a/l = tan(alpha) auf, wenn du nachher das
> Auflösungsvermögen anhand dem Dreieck in der Linse
> herleitest, und die Formel nicht mit der anderen
> gleichsetzen tust.
War unnötig, dachte dann erinerst du dich besser.
> Wieso rechnet man auf einmal im Bogenmaß?
sinx=x ist falsch und sinnlos für x im Gradmass. sinx ist ein Verhältnis, also eine reine Zahl, x im Bogenmass ist auch ein Verhältnis, nämlich Bogenlänge durch Radius. mit sinx=x sagst du für kleine x ist das Verhältnis des graden Stückes (gegenüber dem Winkel) zum Radius gleich dem Verhältnis krummnes Stück (Bogen) zu Radius. oder den Bogen kann man für kleine Winkel durch ein grades Stück ersetzen.
bild in deinem Taschenrechner mal [mm] \pi/100 [/mm] (entspricht 1,8°) dann bilde sin ( im rad modus) und du siehst es kommt wieder [mm] \pi/100 [/mm] raus, mindestens die ersten 3 zählenden Stellen.
Wenn du im deg modus rechnest und sin(1,8°) eintippst kommt natürlich nicht 1,8 raus, sondern 0,003.
(Noch ein Wort zum Mikroskop, da fallen di Strahlen von einem Punkt sicher nicht parallel ein, sondern unter einem Winkel mit [mm] tan\alpha=r/g [/mm] g =Gegenstandsweite, beim Mikroskop [mm] g\approx=f. [/mm] das Zwischenbild entsteht weit hinter der Linse, die Strahlen dahin sind also prakt. parallel.
Das Bild ist also, wenn man es Zeichnet umgekehrt, aber da man in der Optik Strahlengäng umkehren kann sind die Gleichungen dieselben.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 So 11.06.2006 | | Autor: | queza |
Danke für dieErklärungen leduart, und das mit dem Bogenmaß kommt auch hin :)
Super erklärt!
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