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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Di 06.11.2007 | | Autor: | mathe-lk |
| Aufgabe | Gegeben seien vier Punkte im [mm] \IR^3
[/mm]
A: [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 0 & 1 }; [/mm] B: [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -4 & 9 }; [/mm] C: [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \pmat{ 6 & 2 & -1 }; [/mm] D: [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -1 }; [/mm]
a) Zeigen Sie, dass die vier Punkte A,B,C und D nicht in einer Ebene liegen.
b) Berechnen Sie den Abstand e des Punktes A von der Ebene, die durch die Punkte B,C und D gegeben ist. (e= [mm] \bruch{8}{\wurzel{86}} [/mm] |
Hallo, ich weiß bei der Aufgabe a) nicht, woran ich erkenne welche Punkte die Ebene aufspannen und wie ich beweise, dass ein oder mehrere Punkte nicht in dieser Ebene liegen.
Also ich hab mal angefangen, die Ebene A,B und C aufzuspannen. Da erhalte ich:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \pmat{ -4 & -4 & 8 }
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 }
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & 6 & -2 }
[/mm]
also lautet die Ebenengleichung:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 0 & 1 } [/mm] + r * [mm] \pmat{ -4 & -4 & 8 } [/mm] + s * [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 }
[/mm]
stimmt das? aber wie beweise ich, dass D nicht in dieser Ebene liegt? liegt D überhaupt außerhalb der Ebene?
zu b) habe ich die Ebenengleichung von BCD so wie oben aufgestellt, diese lautet:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -4 & 9 } [/mm] + r * [mm] \pmat{ 6 & 6 & -10 } [/mm] + s * [mm] \pmat{ 2 & 10 & -10 }
[/mm]
löse ich das Gleichungssystem erhalte ich [mm] \vec{x} [/mm] = r * [mm] \pmat{ \bruch{5}{6} & \bruch{5}{6} & 1 }
[/mm]
der Normalenvektor ist damit [mm] \wurzel{2,39} [/mm] * [mm] \pmat{ \bruch{5}{6} & \bruch{5}{6} & 1 }
[/mm]
aber wenn ich das in die Formel e= [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] - d einsetze, kommt etwas anderes raus
kann mir bitte jemand helfen, die Aufgabe zu lösen bzw. meinen Fehler zu finden? ich hab alles schon ein paar Mal durchgerechnet
vielen Dank für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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mit dem richtigen denkanstoß bekommst du das ganz einfach hin.
prinzipiell liegt ein punkt auf einer ebene (oder einer geraden), wenn sich der punkt als linearkombination darstellen lässt.
in der aufgabe gibt es 4 punkte.
also musst du eine ebene mithilfe von 3 punkten aufstellen (hast du gemacht, kleiner fehler siehe loddar) und dann den vierten punkt ganz einfach als $ [mm] \vec{x} [/mm] $ einsetzen (in seinen komponenten x,y,z).
hast du das gemacht, bekommst du ein gleichungssystem bestehend aus 3 gleichungen mit 2 unbekannten.
erhältst du beim lösen eine wahre aussage, so ist der punkt auf der ebene.
nun zum denkanstoß:
überlege dir mal, wie das mit einem 3-beinigen tisch ausschaut.
der kann nicht kippeln!
sprich, mit 3 von den 4 gegebenen punkten kannst du eine ebene aufspannen. egal, welche punkte du nimmst 
von daher ist es ansich egal, welche ebene du nimmst und aufstellst, musst dann natürlich nur den "fehlenden punkt" richtig einsetzen.
also kannst du ABC, ABD, ACD, BCD benutzen.
da du in der zweiten teilaufgabe aber sowieso BCD brauchst, wäre es klug, einfach diese bei a) auszuwählen.
bzgl b)
ich bin mir grad nicht sicher, was du mit $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = r * $ [mm] \pmat{ \bruch{5}{6} & \bruch{5}{6} & 1 } [/mm] $ meinst, aber die formel $e= [mm] \vec{n} [/mm] $ * $ [mm] \vec{a} [/mm] - d $ ist nicht ganz vollständig.
du musst den ausdruck durch den betrag des normalenvektors rechnen:
$d(A,E)= [mm] \bruch{ |\vec{n} * \vec{a} -d|}{| \vec{n}|}$
[/mm]
ich hoffe, ich konnte dir einen ansatz geben
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:21 Fr 09.11.2007 | | Autor: | mathe-lk |
hi sandmann0187
du meinst also, dass ich die Ebene BCD nehmen soll, dann kann ich doch die Gleichung, die ich bei b) berechnet habe verwenden, wenn diese stimmt, oder? kannst du dir bitte ma die Gleichung anschauen?weil ich es noch mal nachgerechnet habe und wieder auf den vektor gekommen bin.
bei dem gleichungssystem wie komm ich da auf drei gleichungen. ich hab doch nur zwei vektoren, ich hab gedacht ich muss dann das gleichungssytem mit den richtungsvektoren lösen, und was sind meine zwei unbekannten? soll ich ganz normal aus den zwei vektoren ein gleichungssystem aufstellen?
und woher weiß ich dass die aussage wahr ist? sorry dass ich so viele fragen stell, aber bei den aufgaben hab ich schon ewig gerechnet und noch kein potentielles ergebnis erhalten
danke für deine hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Fr 09.11.2007 | | Autor: | mathe-lk |
hi sandmann0187
das mit dem richtungsvektor hat sich erledigt, hab die vektoren verwechselt und zudem noch nen rechenfehler drin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Di 06.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-lk,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> zu b) habe ich die Ebenengleichung von BCD so wie oben
> aufgestellt, diese lautet:
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -4 & 9 }[/mm] + r * [mm]\pmat{ 6 & 6 & -10 }[/mm] + s * [mm]\pmat{ 2 & 10 & -10 }[/mm]
Wie bist Du denn hier auf den 2. Richtungsvektor gekommen. Ich erhalte hier [mm] $\vec{r}_2 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\ \red{6} \\ -10}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Fr 09.11.2007 | | Autor: | mathe-lk |
hi,
also wegen dem vektor [mm] \pmat{ 6 & 6 & -10 } [/mm] den hab ich erhalten als ich [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] berechnet habe
6-0=6
2-(-4)=6
-1-9=-10
stimmt dabei irgendetwas nicht?
danke, dass ihr mir helft, ich komm einfach nicht weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-lk!
Ich meine den anderen Richtungsvektor ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Fr 09.11.2007 | | Autor: | mathe-lk |
hi
oh sorry, hab ich verwechselt, ich dachte du meinst den anderen
da hab ich mich echt verrechnet, deine zahlen passen, danke dass du mich darauf aufmerksam machst
aber ich komm immer noch net weiter, mir fehlt der ansatz, ich weiß nicht wie ich mit dieser gleichung den normalenvektor berechnen soll
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