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| Aufgabe | Nehmen Sie an, Sie haben 6.000 Euro geerbt und wollen sie investieren. Zwei Freunde sind an Sie herangetreten und haben Ihnen eine Beteiligung an ihren Ich-AGs angeboten. In beiden Fällen wird von Ihnen nicht nur monetärer
Einsatz erwartet, sondern auch Ihre Arbeitskraft benötigt. Ihr erster Freund erhofft von Ihnen 5.000 Euro und 200 Stunden Arbeitseinsatz, womit er Ihnen ein Einkommen
von 9.500 Euro in Aussicht stellt. Die entsprechenden Daten beim zweiten Freund lauten 4.000 Euro und 250 Stunden Einsatz für 9.000 Euro. Beide stellen Ihnen aber auch in Aussicht, diese Einsatz nur anteilig, dann aber proportional zu leisten. Also etwa beim ersten Freund 2.500 EUro und 100 Stunden Einsatz für 4.750 Euro. Nehmen Sie ferner an, dass Sie sich neben dem Studium und Ihrem anderen Job sich eine zusätzliche Belastung von 300 Stunden erlauben können. Wie können Sie Ihr Erbe und Ihre
Zeit so in die Ich-AGs Ihrer Freunde investieren, dass Sie Ihr erwartetes Einkommen maximieren? |
Hallo an alle,
ich arbeite mich gerade in die lineare Optimierung ein und versuche das oben beschriebene Problem als lineares Optimierungsproblem zu modellieren, aber das will mir nicht so recht gelingen. Ich habe mir folgendes überlegt:
Wenn man mit [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] das jeweilige Einkommen bei Freund 1 und Freund 2 bezeichnet, dann würde ich sagen, muss folgende Gleichung maximiert werden:
[mm] \vektor{E_1 \\ E_2} [/mm] --> [mm] a_1*E_1 [/mm] + [mm] a_2*E_2
[/mm]
Dabei setzt sich [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] additiv zusammen aus dem investierten Kapitel und der investierten Arbeitszeit, also: [mm] E_1 [/mm] = [mm] K_1 [/mm] + [mm] 22.5*t_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] = [mm] K_2 [/mm] + [mm] 22*t_2 [/mm] (die 22.5 und die 22 habe ich aus den angegebenen Werten berechnet, also z.B. für den 1. Freund gilt ja: 9500 Euro = 5000 Euro + 200 Stunden * x --> x = 22,5 Euro die Stunde; ich wüsste an sonst nicht wie man das Einkommen mit dem Kapital und der Arbeitszeit in Zusammenhang bringt, geht das so?).
Als Randbedingungen habe ich:
[mm] t_1 [/mm] + [mm] t_2 \le [/mm] 300
* da Zeit begrenzt ist
[mm] K_1 [/mm] + [mm] K_2 \le [/mm] 6000
* da Erbe begrenzt ist
[mm] -t_1 \le [/mm] 0
[mm] -t_2 \le [/mm] 0
[mm] -K_1 \le [/mm] 0
[mm] -K_2 \le [/mm] 0
Das ist das was ich habe, ich bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt und wäre daher für jeden korrigierenden Hinweis dankbar.
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Di 14.04.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ich gebe einfach mal meinen Senf zu deinen Ausführungen, vielleicht bringt dich das ja schon weiter.
> Wenn man mit [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm] das jeweilige Einkommen bei Freund
> 1 und Freund 2 bezeichnet, dann würde ich sagen, muss
> folgende Gleichung maximiert werden:
>
> [mm]\vektor{E_1 \\ E_2}[/mm] --> [mm]a_1*E_1[/mm] + [mm]a_2*E_2[/mm]
>
...und was ist [mm] a_1 [/mm] bzw. [mm] a_2 [/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Dabei setzt sich [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm] additiv zusammen aus dem
> investierten Kapitel und der investierten Arbeitszeit,
> also: [mm]E_1[/mm] = [mm]K_1[/mm] + [mm]22.5*t_1[/mm] und [mm]E_2[/mm] = [mm]K_2[/mm] + [mm]22*t_2[/mm] (die 22.5
> und die 22 habe ich aus den angegebenen Werten berechnet,
> also z.B. für den 1. Freund gilt ja: 9500 Euro = 5000 Euro
> + 200 Stunden * x --> x = 22,5 Euro die Stunde; ich wüsste
> an sonst nicht wie man das Einkommen mit dem Kapital und
> der Arbeitszeit in Zusammenhang bringt, geht das so?).
So wie ich die Aufgabe verstehe kann man das nicht so einfach trennen: der "Auszahlungsbetrag" setzt sich ja nicht nur aus Rückzahlung des investierten Kapitals und einem Stundenlohn zusammen, sondern evtl. gibt es auch Zinsen für das Kapital.
So wie ich es verstehe kann man auch Arbeits- und Kapitaleinsatz pro Freund nicht unabhängig voneinander variieren, sondern das Verhältnis von Zeit- und Kapitaleinsatz pro Freund ist fest. Wenn man dem ersten Freund also 1000 Euro zur Verfügung stellen will bedeutet das automatisch auch, dass man genau 40 Stunden arbeiten muss und dafür 1900 Euro erhält (jeweils 20% der Maximalmenge).
>
> Als Randbedingungen habe ich:
>
> [mm]t_1[/mm] + [mm]t_2 \le[/mm] 300
> * da Zeit begrenzt ist
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]K_1[/mm] + [mm]K_2 \le[/mm] 6000
> * da Erbe begrenzt ist
> [mm]-t_1 \le[/mm] 0
> [mm]-t_2 \le[/mm] 0
> [mm]-K_1 \le[/mm] 0
> [mm]-K_2 \le[/mm] 0
>
Jetzt muss man allerdings noch den Zusammenhang zwischen Geldeinsatz, Zeiteinsatz und Erlös irgendwie einbringen - evtl. durch Einführung geeigneter neuer Problemvariablen, aus denen sich die aktuellen leicht berechnen lassen.
Mir fehlt noch die Restriktion, dass Zeit- und Kapitaleinsatz pro Freund auch noch begrenzt sind (z.B. kann man keine 300 Stunden bei Freund 1 arbeiten).
Mach dir also nochmal ein paar Gedanken und poste deinen neuen Lösungsvorschlag bzw. deine Fragen nochmal hier rein.
Gruß
piet
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Hallo piet,
vielen Dank schon mal für deine Hilfe. Ich habe jetzt nochmal ein bisschen über die Aufgabe nachgedacht und würde jetzt folgenden - ganz anderen (ich hoffe, dass es jetzt nicht peinlich wird) - Ansatz machen.
Und zwar gehen ich jetzt aus von den Verhältnissen (du hattest ja festgestellt, dass der Einsatz von Kapital und Zeit immer proportional zueinander ist; diese Proportionalität überträgt sich aber auch auf den Erlös den ich erreiche. Bsp: wenn ich 1000 Euro bei Freund 1 investiere, dann sind das 20% vom max. möglichen Kapitaleinsatz. Aufgrund der Proportionalität von Kaiptaleinsatz und Zeiteinsatz investiere ich auch nur 20% der Zeit, also 40 Stunden. Das macht einen Erlös von 1900 Euro also 20% des maximal möglichen Erlöses bei Freund 1). D.h., wenn man [mm] p_1 [/mm] als Anteil an dem max. möglichen Erlös von Freund 1 und [mm] p_2 [/mm] als Anteil an dem max. möglichen Erlös von Freund 2 auffasst ( [mm] p_1 [/mm] ist also Erlös/max. möglichen Erlös bei Freund 1), dann suche ich den Vektor [mm] (p_1 p_2) [/mm] für den [mm] p_1 [/mm] + [mm] p_2 [/mm] maximal ist.
Die Randbedingungen kann ich dann wie folgt umschreiben:
[mm] t_1 [/mm] + [mm] t_2 \le [/mm] 300 -> [mm] 200*p_1 [/mm] + [mm] 250*p_2 \le [/mm] 300
[mm] K_1 [/mm] + [mm] K_2 \le [/mm] 6000 -> [mm] 5000*p_1 [/mm] + [mm] 4000*p_2 \le [/mm] 6000
*die neuen Randbedingungen gemäß deinem Vorschlag und ihre Übersetzung:
[mm] K_1 \le [/mm] 5000 -> [mm] 5000*p_1 \le [/mm] 5000 -> [mm] p_1 \le [/mm] 1
[mm] K_2 \le [/mm] 4000 --> 4000 [mm] *p_2 \le [/mm] 4000 -> [mm] p_2 \le [/mm] 1
usw.
Mh, jetzt bin ich mir nicht mehr sicher, ob das richtig ist, aber mir fehlt kein anderer Weg ein, die Größen Gelderlös, Kapital- und Zeiteinsatz zu verknüpfen. Ich bin für alle Vorschläge dankbar!
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Fr 17.04.2009 | | Autor: | steffenhst |
Hallo piet,
vielen Dank für deine Hilfe!!!
Grüße, Steffen
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