Aufstellen von DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Stelle Differentialgleichungen für folgende Kurvenscharen in der x-y-Ebene auf, welche von reellen Parametern a,b,c,... abhängen:
a) [mm] y=ae^{bx}+c
[/mm]
b) [mm] y=ax^2+bx
[/mm]
c) alle Kreise vom Radius 1, deren Mittelpunkt auf der y-Achse liegt. |
Hallo liebe Mathegemeinde,
ihr werdet vermutlich lachen, aber ich scheitere hier an der Aufgabe komischerweise.
Als Hinweis wurde folgendes gegeben: Differentiation nach x und Elimination der Parameter führ auf die gesuchte Differentialgleichung.
Habe mich daher auch ein bisschen schlau gemacht und man muss wohl so ofrt differenzieren, wie es Unbekannte gibt. Ich mache das jetzt einmal speziell für a)
[mm] y'=abe^{bx} [/mm] => [mm] a=\bruch{y'}{be^{bx}}
[/mm]
[mm] y''=ab^2e^{bx} [/mm] => [mm] a=\bruch{y''}{b^2e^{bx}}
[/mm]
[mm] y'''=ab^3e^{bx} [/mm] => [mm] a=\bruch{y'''}{b^3e^{bx}}
[/mm]
Wie kann ich b eliminieren? Ist das überhaupt notwendig?
Mein Hauptproblem: Wie gelange ich jetzt zur DGL? Welche Werte muss ich in welche Gleichung einsetzen?
Bitte nur Hinweise geben. Lösen möchte ich es weitesgehend selbst.
Danke für eure Unterstützung!
Und einmal mehr:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Stelle Differentialgleichungen für folgende Kurvenscharen
> in der x-y-Ebene auf, welche von reellen Parametern
> a,b,c,... abhängen:
> a) [mm]y=ae^{bx}+c[/mm]
> b) [mm]y=ax^2+bx[/mm]
> c) alle Kreise vom Radius 1, deren Mittelpunkt auf der
> y-Achse liegt.
> Hallo liebe Mathegemeinde,
>
> ihr werdet vermutlich lachen, aber ich scheitere hier an
> der Aufgabe komischerweise.
> Als Hinweis wurde folgendes gegeben: Differentiation nach x
> und Elimination der Parameter führ auf die gesuchte
> Differentialgleichung.
>
> Habe mich daher auch ein bisschen schlau gemacht und man
> muss wohl so ofrt differenzieren, wie es Unbekannte gibt.
> Ich mache das jetzt einmal speziell für a)
>
> [mm]y'=abe^{bx}[/mm] => [mm]a=\bruch{y'}{be^{bx}}[/mm]
> [mm]y''=ab^2e^{bx}[/mm] => [mm]a=\bruch{y''}{b^2e^{bx}}[/mm]
> [mm]y'''=ab^3e^{bx}[/mm] => [mm]a=\bruch{y'''}{b^3e^{bx}}[/mm]
> Wie kann ich b eliminieren? Ist das überhaupt notwendig?
Alle Parameter kannst Du nicht eliminieren
Differenziere einmal nach x und Du bekommst die DGL
y'=by-bc
FRED
>
> Mein Hauptproblem: Wie gelange ich jetzt zur DGL? Welche
> Werte muss ich in welche Gleichung einsetzen?
>
> Bitte nur Hinweise geben. Lösen möchte ich es
> weitesgehend selbst.
> Danke für eure Unterstützung!
>
> Und einmal mehr:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Also versuche ich nur die Ableitungsfunktion irgendwie wieder in die Funktion hineinzubekommen?
b)
[mm] y=ax^2+bx
[/mm]
[mm]y'=2ax+b[/mm]
[mm]2y=x(2ax+b+b)=x(y'+b)[/mm] [mm] \gdw y=\bruch{1}{2}(y'x+bx)
[/mm]
Muss ich denn nicht aber das b noch irgendwie herausbekommen?
|
|
|
| |
|
Hallo Richie1401,
> Also versuche ich nur die Ableitungsfunktion irgendwie
> wieder in die Funktion hineinzubekommen?
>
Du kannst die von meinem Vorredner angegebene DGL
nochmals differnzieren und so den Parameter b ersetzen.
> b)
> [mm]y=ax^2+bx[/mm]
> [mm]y'=2ax+b[/mm]
>
> [mm]2y=x(2ax+b+b)=x(y'+b)[/mm] [mm]\gdw y=\bruch{1}{2}(y'x+bx)[/mm]
> Muss ich
> denn nicht aber das b noch irgendwie herausbekommen?
Da musst Du die Gleichung
[mm]y'=2ax+b[/mm]
nochmals differenzieren.
Dann kannst Du alle Parameter eliminieren.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich habe jetzt folgendes erhalten:
[mm] y=-\bruch{1}{2}y''x^2+y'x
[/mm]
Das müsste richtig sein.
Kann ich denn aber bei der ersten Aufgabe wirklich keine weiteren Paramter ersetzen?
Ich habe mla folgendes erhalten:
[mm]y'^2=y y''[/mm]
Das ist aber schon gar keine gewöhnliche DGL mehr, oder?
Mit Mathematica habe ich es zumindest soweit gelöst, dass herauskommt:
[mm] y=ae^{bx}
[/mm]
Es fehlt also die Konstante c.
|
|
|
| |
|
Hallo Richie1401,
> Ich habe jetzt folgendes erhalten:
>
> [mm]y=-\bruch{1}{2}y''x^2+y'x[/mm]
>
> Das müsste richtig sein.
>
Stimmt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann ich denn aber bei der ersten Aufgabe wirklich keine
> weiteren Paramter ersetzen?
>
Wie schon erwähnt den Parameter b kannst Du noch ersetzen.
> Ich habe mla folgendes erhalten:
> [mm]y'^2=y y''[/mm]
> Das ist aber schon gar keine gewöhnliche DGL
> mehr, oder?
Doch das ist eine gewöhnliche DGL.
> Mit Mathematica habe ich es zumindest soweit gelöst, dass
> herauskommt:
> [mm]y=ae^{bx}[/mm]
Das ist nur eine Lösung der obigen DGL.
> Es fehlt also die Konstante c.
Das ist die zweite Lösung der obigen DGL.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Di 17.04.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Alles klar.
Dankeschön, ich bin jetzt im Bilde.
|
|
|
|
