Aufstellen von LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:42 Fr 24.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | Nach einem Examen sollen 30 Personen mit je einem Buch prämiert werden. Es stehen genau 600€
zur Verfügung, um für jede Person eines von 3 verschiedenen Büchern, jeweils im Wert von 30€, 24€
und 18€ zu kaufen.
Welche (sinnvollen) Möglichkeiten für den Kauf dieser 30 Prämien gibt es, wenn von jedem Buch (zu
30€, 24€ und 18€) mindestens ein Exemplar gekauft werden soll, und dabei genau 600€ ausgegeben
werden sollen? |
Hallo :)
Die Lösungen liegen mir vor. Es gibt vier sinnvolle Lösungen, die ich auch nachvollziehen kann, aber mir ist gerade nicht klar wie ich das LGS aufstellen muss, um diese Lösungen zu erhalten.
Ich bitte um Hilfe 
LG Jengo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Fr 24.07.2015 | | Autor: | moody |
> Ich bitte um Hilfe
Dann fang doch mal an :) Mach dir ein paar Gedanken und stelle ein LGS auf. Dann können wir gemeinsam gucken woran es hängt.
lg moody
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 24.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
Wie wäre es mit
30x+24y+18z=600 ?
Aber wenn ich dann nach den einzelnen Variablen auflösen würde, würde ich glaube ich ungerade Werte herausbekommen :/..
Jengo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Fr 24.07.2015 | | Autor: | moody |
> Wie wäre es mit
>
> 30x+24y+18z=600 ?
>
> Aber wenn ich dann nach den einzelnen Variablen auflösen
> würde, würde ich glaube ich ungerade Werte herausbekommen
> :/..
>
Das sieht doch schonmal gut aus! Ich glaube du kannst auch noch eine andere Bedingung aus der Aufgabenstellung heraus holen. FÜr die Anzahl gilt nämlich noch etwas.
edit: Es sind natürlich nicht alle Lösungen des LGS sinnvoll, deswegen der Hinweis nach sinnvollen Lösungen. Deshalb beim Rechnen erstmal nicht abschrecken lassen ;)
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 24.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
Zu berücksichtigen sind noch die 30 Personen.
Müsste die Gleichung dann folgendermaßen lauten?
30*(30x+24y+18z)=600
Jengo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Fr 24.07.2015 | | Autor: | moody |
> Zu berücksichtigen sind noch die 30 Personen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Müsste die Gleichung dann folgendermaßen lauten?
>
> 30*(30x+24y+18z)=600
Nein.
Ein wichtiges Stichwort ist hier Gleichung , es geht aber um ein LGS -> Lineares Gleichungssystem, also mehr als 1 Gleichung.
Wie wäre es mit
(I) 30x + 24y + 18z = 600
(II) x + y + z = 30
Als 3. Bedingung hast du jetzt noch dass jedes Buch mindestens 1x gekauft werden soll. Ich würde vorschlagen dass wir mit dem unterbestimmten LGS weitermachen und diese Bedingung am Ende dafür verwenden zu untersuchen welche Lösungen sinnvoll sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 24.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
>
> (I) 30x + 24y + 18z = 600
> (II) x + y + z = 30
>
[mm] \pmat{ 30 & 24 & 18 &|600 \\ 1 & 1 & 1 &|30 }
[/mm]
Mir fehlt der richtige Gedanke.. bei einer 3x3 Matrix weiß ich z.B. dass ich die Stufenform erreichen will um "abzulesen" was mein z-Wert ist. Aber wie gehe ich hier vor?
Ich könnte durch Umwandlung folgendes erreichen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 &|-20 \\ 0 & 1 & 2 &|50 }
[/mm]
Dann könnte ich sagen, dass z = [mm] 25-\bruch{y}{2} [/mm]
für y würde ich 0y=0 erhalten
und [mm] x=5-\bruch{y}{2}
[/mm]
Das verwirrt mich alles gerade etwas :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Fr 24.07.2015 | | Autor: | moody |
> >
> > (I) 30x + 24y + 18z = 600
> > (II) x + y + z = 30
> >
>
>
> [mm]\pmat{ 30 & 24 & 18 &|600 \\ 1 & 1 & 1 &|30 }[/mm]
>
> Mir fehlt der richtige Gedanke.. bei einer 3x3 Matrix weiß
> ich z.B. dass ich die Stufenform erreichen will um
> "abzulesen" was mein z-Wert ist. Aber wie gehe ich hier
> vor?
Mach dir doch eine 3x3 Matrix daraus
[mm]\pmat{ 30 & 24 & 18 &|600 \\ 1 & 1 & 1 &|30 \\ 0 & 0 & 0 &| 0 }[/mm]
Und mit dem Wissen, dass mehr als eine Lösung existiert (schau dir dazu den Rang der Matrix an) kannst du dir z.B. für z etwas überlegen und dann eben wie gewohnt weitermachen.
edit: Bei deinen Umformungen hast du dich mit den Vorzeichen verhauen.
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 24.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
Ich habe es in die Stufenform gebracht und z=t gesetzt.
Ich bekomme raus:
z=t
y=50-2t
x=-20+t
Wenn ich jetzt für t=21 einsetze, wäre eine Lösung also:
[mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 8 \\ 21}
[/mm]
Jetzt möchte ich ja aber in der Klausur nicht unbedingt endlos rumprobieren und Zahlen für t ausprobieren und gucken, ob ich auf ein ganzzahliges Ergebnis komme. (Was ja die 3. Bedingung war).
Hast du da auch noch ein Tip für mich, wie ich das schnell hinbekomme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Fr 24.07.2015 | | Autor: | moody |
> [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 8 \\ 21}[/mm]
Das ist eine Lösung.
Allgemein hast du ja die Lösungsstruktur
[mm] \vec{x}=\vektor{-20 \\ 50 \\ 0} [/mm] + t [mm] \cdot \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Da du weißt dass jedes Buch mindestens 1x gekauft werden muss und du keine negative Anzahl Bücher kaufen kannst folgt aus der ersten Zeile
-20 + t [mm] \ge [/mm] 1
t [mm] \ge [/mm] 21
und aus der zweiten Zeile folgt
50 -2t > 0
50 > 2t
25 > t
Beachte dass > und nicht [mm] \ge [/mm] steht. Also kann t von 21 bis 24 Werte annehmen.
[mm] $\begin{tabular}{ccccc} t& x & y & z & Summe\\
20& 0 & 10 & 20 & 30 \\
21& 1 & 8 & 21 & 30 \\
22& 2 & 6 & 22 & 30 \\
23& 3 & 4 & 23 & 30 \\
24& 4 & 2 & 24 & 30 \\
25& 5 & 0 & 25 & 30 \\
\end{tabular}$
[/mm]
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 24.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
Perfekt!
Danke für deine sehr verständliche Hilfe :) !
Schönes Wochenende
Jengo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Fr 24.07.2015 | | Autor: | moody |
Gerne :)
Wünsch ich dir auch! Und viel Erfolg bei der Klausur!
lg moody
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