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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 02.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 2 & 2 \\ 3 & 4 }; B=\pmat{ 4 & -2 \\ -3 & 2 }
[/mm]
Berechnen Sie [mm] \summe_{k=0}^{20}(B^{2k}*A^{2k}) [/mm] |
Hallo! Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen soll, vielleicht würde auch schon ein kleiner Tipp für die vorgehensweise reichen.
Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]A=\pmat{ 2 & 2 \\ 3 & 4 }; B=\pmat{ 4 & -2 \\ -3 & 2 }[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]\summe_{k=0}^{20}(B^{2k}*A^{2k})[/mm]
> Hallo! Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe
> lösen soll, vielleicht würde auch schon ein kleiner Tipp
> für die vorgehensweise reichen.
Hallo,
Du könntest Dir zunächst die einzelnen Summanden überlegen:
[mm] B^0A^0=E*E=E
[/mm]
[mm] B^2A^2=(BB)(AA)=B(BA)A=...
[/mm]
[mm] B^3A^3=B(B^2A^2)A=...
[/mm]
Wahrscheinlich siehst Du hier schon, wie die Sache läuft.
In die Summe einsetzen, Einheitsmatrix ausklammern,
Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe herauskramen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 02.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Aber leider bin ich immer noch nicht so ganz dahinter gestiegen wie ich jetzt vorgehen muss. Kannst du das vielleicht noch ein bisschen ausführlicher beschreiben?
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> Erstmal danke für die schnelle Antwort!
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> Aber leider bin ich immer noch nicht so ganz dahinter
> gestiegen wie ich jetzt vorgehen muss. Kannst du das
> vielleicht noch ein bisschen ausführlicher beschreiben?
Fang langsam an:
Berechne zunächst [mm] BA=\pmat{ ... & ... \\ ... & ... }
[/mm]
Wenn Du das hast, berechne [mm] B^2A^2=B\pmat{ ... & ... \\ ... & ... }A
[/mm]
Dann sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Di 02.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
Also, ich habe gerechnet und es kommt was interessantes raus...
[mm] B*A=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] und [mm] B^2*A^2=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }
[/mm]
aber irgendwie hab ich immer noch ein Brett vor dem Kopf...
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> Also, ich habe gerechnet und es kommt was interessantes
> raus...
Eben.
> [mm]B*A=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] und [mm]B^2*A^2=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm]
>
> aber irgendwie hab ich immer noch ein Brett vor dem Kopf...
Das machst nichts. Immerhin kannst Du richtig rechnen!
Also
[mm] B^2*A^2=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }=4E=2^2E [/mm] (E=Einheitsmatrix)
[mm] B^4A^4=B^2(B^2A^2)A^2=B^2(2^2E)A^2=2^2B^2EA^2=2^2B^2A^2= [/mm] ???= 2^?E
[mm] B^6A^6=...
[/mm]
Krönung:
[mm] B^{2k}A^{2k}=...
[/mm]
Und dann in die Summe mit den gewonnenen Erkenntnissen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Di 02.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
Also, wenn ich das richtig verstanden habe ist [mm] B^{2k}A^{2k} [/mm] = [mm] 2^{k}*E, [/mm]
das dann bis 20 aufsummiert ergibt [mm] \pmat{ 2097151 & 0 \\ 0 & 2097151 } [/mm] was auch die Lösung ist?!
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> Also, wenn ich das richtig verstanden habe ist [mm]B^{2k}A^{2k}[/mm]
> = [mm]2^{k}*E,[/mm]
Nein, es ist [mm] B^{2k}A^{2k}= 2^{2k}*E.
[/mm]
Möglicherweise mußt du dieses Ergebnis noch beweisen per Induktion. (Du scheinst ja BWLer zu sein, ich kenne die Gepflogenheiten dort nicht.)
> das dann bis 20 aufsummiert ergibt [mm]\pmat{ 2097151 & 0 \\ 0 & 2097151 }[/mm]
> was auch die Lösung ist?!
So ähnlich, "hoch 2k" ändert die Sache etwas, aber das Prinzip stimmt:
[mm] \summe_{k=0}^{20}(B^{2k}\cdot{}A^{2k}) [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{20}2^{2k}*E=(\summe_{k=0}^{20}2^{2k})E= (\summe_{k=0}^{20}4^{k})E= [/mm] ...*E
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Di 02.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
Alles klar, jetzt hab ichs :) Vielen Danke für die super Hilfe!
Gruß Dino
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