Ausartungsraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Di 01.11.2005 | | Autor: | geckolux |
Hy allerseits, wie gehts?
ich habe bei folgender Aufgabe sehr große PRobleme da ich nicht weiß wie ich die differenzierbarkeit in a) behandeln soll und nicht verstehe wie ich einen Ausartungsraum bestimme, hoffe ihr könt wieder mal so toll helfen
Sei
D := D(]-1,1[) := {f: ]-1,1[ -> [mm] \IR \parallel [/mm] f differenzierbar}.
Zeigen Sie:
- D ist ein [mm] \IR [/mm] - Vektorraum.
- d : D x D -> [mm] \IR [/mm] , (f,g) [mm] \mapsto [/mm] (fg)´(0) ist eine symmetrische Bilinearform. Bestimmen Sie den Ausartungsraum [mm] D_0 [/mm] von d.
Ich habe ausserdem PRobleme Vektorräume zu beweisen wenn es sich bei der Menge um eine Menge von Funktionen handelt :(
hoffe ihr könnt mir helfen,...
mfg
gecko
|
|
| |
|
Grüße!
Naja, die Vektorraumstruktur des Funktionenraumes ist ja klar... sind $f$ und $g$ Funktionen nach [mm] $\IR$, [/mm] dann ist auch $f + g$ eine Funktion, indem man einfach definiert $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$.
Und Skalarmultiplikation ist ebenso definiert. Das ist auch hier nicht das Problem, vielmehr geht es um Folgendes:
Wenn $f,g [mm] \in [/mm] D$ und [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] gegeben sind, wieso gilt dann $f + g [mm] \in [/mm] D$ und [mm] $\lambda [/mm] f [mm] \in [/mm] D$? Du musst Dir also überlegen, dass die Summe zweier differenzierbarer Funktionen wieder differenzierbar ist. Und dass für differenzierbares $f$ auch die Funktion [mm] $\lambda [/mm] f$ differenzierbar ist.
Für den zweiten Teil: Symmetrie sollte klar sein.  Dann reicht es zu zeigen, dass $d(f + g, h) = d(f,h) + d(g,h)$ und ebenso [mm] $d(\lambda [/mm] f, g) = [mm] \lambda [/mm] d(f,g)$ gilt. Das ist schlicht nachzurechnen.
Und für den Ausartungsraum... das hängt von eurer Definition dafür ab, aber das sollte mit den Dingen oben auch nicht so schwer sein.
Viel Erfolg!
Lars
|
|
|
|
