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| Aufgabe | Für die Funktion
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2-36} [/mm] $ mit x $ [mm] \in [/mm] $ [-2, -1]
sollen a und b $ [mm] \in \IR [/mm] $ gefunden werden, sodass gilt: a $ [mm] \le [/mm] $ |f(x)| $ [mm] \le [/mm] $ b |
Hallo,
Meine Frage kommt im Verlauf meiner Lösung.
Meine Lösung:
[mm] |x^2-36| \le |x|^2 [/mm] +36 [mm] \le (-2)^2+36 \le [/mm] 40
Hier dürfte eigentlich alles klar sein. Hier wollte ich eigentlich noch "|x|" mit der geschweiften "Klammer" unterkringeln und mit " [mm] \le [/mm] 2" bezeichnen, jedoch steht dann alles total verwurschelt da.
[mm] |x^2-36| \ge ||x^2-36|-|0|| \ge |x^2-36| \ge [/mm] 32
Auf diesen Teil hier bezieht sich meine Frage. Der letzte Teil dürfte noch nicht klar sein, bzw die Begründung fehlt, dass [mm] |x^2-36| [/mm] größer/gleich 32 sein soll. Begründen würde ich dies wie folgt:
[mm] |x^2-36| [/mm] ist der Abstand der zahlen [mm] x^2 [/mm] und 36 auf der Zahlengeraden, mit x [mm] \in [/mm] [-2, -1]. Setzt man die Grenzen des Intervalls x=-2 und x=-1 in [mm] |x^2-36| [/mm] ein, so sieht man, dass [mm] |x^2-36| [/mm] bzw. der Abstand der Zahlen [mm] x^2 [/mm] und 36 mindestens 32 und höchstens 35 ist. Somit gilt [mm] |x^2-36| \ge [/mm] 32 für alle x [mm] \in [/mm] [-2, -1].
Ist diese Begründung ausreichend?
Die Lösung insgesamt lautet dann:
[mm] \bruch{1}{40} \le |\bruch{1}{x^2-36}| \le \bruch{1}{32}
[/mm]
mit [mm] a=\bruch{1}{40} [/mm] und [mm] b=\bruch{1}{32}
[/mm]
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Hallo Peeter,
vorab: Deine Lösung ist richtig, aber noch nicht die "bestmögliche".
> Für die Funktion
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2-36}[/mm] mit x [mm]\in[/mm] [-2, -1]
>
> sollen a und b [mm]\in \IR[/mm] gefunden werden, sodass gilt: a [mm]\le[/mm]
> |f(x)| [mm]\le[/mm] b
>
> Hallo,
>
> Meine Frage kommt im Verlauf meiner Lösung.
>
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]|x^2-36| \le |x|^2[/mm] +36 [mm]\le (-2)^2+36 \le[/mm] 40
>
> Hier dürfte eigentlich alles klar sein. Hier wollte ich
> eigentlich noch "|x|" mit der geschweiften "Klammer"
> unterkringeln und mit " [mm]\le[/mm] 2" bezeichnen, jedoch steht
> dann alles total verwurschelt da.
Meinst Du [mm] |x^2-36|\le\underbrace{|\;x\;|}_{\le{2}} _{}^2+36\le (-2)^2+36\le{40} [/mm] ?
Klick auf die Formeldarstellung, dann siehst du die Eingabe.
Das ist zwar richtig, aber man kann auch zeigen, dass [mm] |x^2-36|\le{35}.
[/mm]
Überleg mal, wie.
> [mm]|x^2-36| \ge ||x^2-36|-|0|| \ge |x^2-36| \ge[/mm] 32
Was macht der Zwischenschritt mit |0| hier? Was trägt er aus?
> Auf diesen Teil hier bezieht sich meine Frage. Der letzte
> Teil dürfte noch nicht klar sein, bzw die Begründung
> fehlt, dass [mm]|x^2-36|[/mm] größer/gleich 32 sein soll.
Stimmt.
> Begründen würde ich dies wie folgt:
>
> [mm]|x^2-36|[/mm] ist der Abstand der zahlen [mm]x^2[/mm] und 36 auf der
> Zahlengeraden, mit x [mm]\in[/mm] [-2, -1]. Setzt man die Grenzen
> des Intervalls x=-2 und x=-1 in [mm]|x^2-36|[/mm] ein, so sieht man,
> dass [mm]|x^2-36|[/mm] bzw. der Abstand der Zahlen [mm]x^2[/mm] und 36
> mindestens 32 und höchstens 35 ist.
Das ist doch mal eine zielführende Beobachtung. Es ist ja [mm] 1\le x^2\le{4}.
[/mm]
> Somit gilt [mm]|x^2-36| \ge[/mm]
> 32 für alle x [mm]\in[/mm] [-2, -1].
>
>
> Ist diese Begründung ausreichend?
Nein.
> Die Lösung insgesamt lautet dann:
>
> [mm]\bruch{1}{40} \le |\bruch{1}{x^2-36}| \le \bruch{1}{32}[/mm]
>
> mit [mm]a=\bruch{1}{40}[/mm] und [mm]b=\bruch{1}{32}[/mm]
Wie gesagt, a kann sogar größer gewählt werden, max. [mm] a=\bruch{1}{35}.
[/mm]
Aus [mm] 1\le x^2\le{4} [/mm] folgt jedenfalls erst einmal [mm] x^2-36<0. [/mm] Damit kannst Du Dir doch schon einiges ersparen.
Grüße
reverend
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Hallo,
>
> > [mm]|x^2-36| \ge ||x^2-36|-|0|| \ge |x^2-36| \ge[/mm] 32
>
> Was macht der Zwischenschritt mit |0| hier? Was trägt er
> aus?
Ich habe die umgekehrte Dreiecksungleichung angewandt. Die |0| habe ich dort nur zur besseren Übersicht mit reingeschrieben, damit eventuell klarer wird, dass ich die umgekehrte Dreiecksungleichung angewandt habe.
>
> > Auf diesen Teil hier bezieht sich meine Frage. Der letzte
> > Teil dürfte noch nicht klar sein, bzw die Begründung
> > fehlt, dass [mm]|x^2-36|[/mm] größer/gleich 32 sein soll.
>
> Stimmt.
>
> > Begründen würde ich dies wie folgt:
> >
> > [mm]|x^2-36|[/mm] ist der Abstand der zahlen [mm]x^2[/mm] und 36 auf der
> > Zahlengeraden, mit x [mm]\in[/mm] [-2, -1]. Setzt man die Grenzen
> > des Intervalls x=-2 und x=-1 in [mm]|x^2-36|[/mm] ein, so sieht man,
> > dass [mm]|x^2-36|[/mm] bzw. der Abstand der Zahlen [mm]x^2[/mm] und 36
> > mindestens 32 und höchstens 35 ist.
>
> Das ist doch mal eine zielführende Beobachtung. Es ist ja
> [mm]1\le x^2\le{4}.[/mm]
>
> > Somit gilt [mm]|x^2-36| \ge[/mm]
> > 32 für alle x [mm]\in[/mm] [-2, -1].
> >
> >
> > Ist diese Begründung ausreichend?
>
> Nein.
Warum nicht? Meiner Meinung nach ist das relativ klar begründet.
>
> > Die Lösung insgesamt lautet dann:
> >
> > [mm]\bruch{1}{40} \le |\bruch{1}{x^2-36}| \le \bruch{1}{32}[/mm]
>
> >
> > mit [mm]a=\bruch{1}{40}[/mm] und [mm]b=\bruch{1}{32}[/mm]
>
> Wie gesagt, a kann sogar größer gewählt werden, max.
> [mm]a=\bruch{1}{35}.[/mm]
>
> Aus [mm]1\le x^2\le{4}[/mm] folgt jedenfalls erst einmal [mm]x^2-36<0.[/mm]
> Damit kannst Du Dir doch schon einiges ersparen.
>
Ich weiß nicht wie ich es sonst begründen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> >
> > > [mm]|x^2-36| \ge ||x^2-36|-|0|| \ge |x^2-36| \ge[/mm] 32
> >
> > Was macht der Zwischenschritt mit |0| hier? Was trägt er
> > aus?
>
> Ich habe die umgekehrte Dreiecksungleichung angewandt.
Wo denn ? Ich sehe nur [mm] |x^2-36| [/mm] und das gleich dreimal !
> Die
> |0| habe ich dort nur zur besseren Übersicht mit
> reingeschrieben, damit eventuell klarer wird, dass ich die
> umgekehrte Dreiecksungleichung angewandt habe.
>
> >
> > > Auf diesen Teil hier bezieht sich meine Frage. Der letzte
> > > Teil dürfte noch nicht klar sein, bzw die Begründung
> > > fehlt, dass [mm]|x^2-36|[/mm] größer/gleich 32 sein soll.
> >
> > Stimmt.
> >
> > > Begründen würde ich dies wie folgt:
> > >
> > > [mm]|x^2-36|[/mm] ist der Abstand der zahlen [mm]x^2[/mm] und 36 auf der
> > > Zahlengeraden, mit x [mm]\in[/mm] [-2, -1]. Setzt man die Grenzen
> > > des Intervalls x=-2 und x=-1 in [mm]|x^2-36|[/mm] ein, so sieht man,
> > > dass [mm]|x^2-36|[/mm] bzw. der Abstand der Zahlen [mm]x^2[/mm] und 36
> > > mindestens 32 und höchstens 35 ist.
> >
> > Das ist doch mal eine zielführende Beobachtung. Es ist ja
> > [mm]1\le x^2\le{4}.[/mm]
> >
> > > Somit gilt [mm]|x^2-36| \ge[/mm]
> > > 32 für alle x [mm]\in[/mm] [-2, -1].
> > >
> > >
> > > Ist diese Begründung ausreichend?
> >
> > Nein.
>
> Warum nicht? Meiner Meinung nach ist das relativ klar
> begründet.
>
> >
> > > Die Lösung insgesamt lautet dann:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{40} \le |\bruch{1}{x^2-36}| \le \bruch{1}{32}[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit [mm]a=\bruch{1}{40}[/mm] und [mm]b=\bruch{1}{32}[/mm]
> >
> > Wie gesagt, a kann sogar größer gewählt werden, max.
> > [mm]a=\bruch{1}{35}.[/mm]
> >
> > Aus [mm]1\le x^2\le{4}[/mm] folgt jedenfalls erst einmal [mm]x^2-36<0.[/mm]
> > Damit kannst Du Dir doch schon einiges ersparen.
> >
>
> Ich weiß nicht wie ich es sonst begründen könnte.
Aus 1 [mm] \le x^2 \le [/mm] 4 folgt
(*) -35 [mm] \le x^2-36 \le [/mm] -32
Damit ist [mm] |x^2-36| =36-x^2 [/mm] und aus (*) folgt:
32 [mm] \le |x^2-36| \le [/mm] 35
FRED
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