Ausgewogen / zusammenhängend < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Do 08.09.2011 | | Autor: | physicus |
Liebes Forum,
Ich spiele ein wenig mit topologischen Vektorräumen und hätte dazu eine Frage ob folgender Beweis korrekt ist:
Behauptung: Sei [mm] X [/mm] ein topologischer Vektorraum über dem Skalarkörper [mm] \Phi [/mm] und [mm] E \subset X [/mm] eine nicht leere ausgewogene Teilmenge. Dann ist [mm] E [/mm] zusammenhängend.
Beweis: Nehme an, dass E nicht zusammenhängend ist. Dann existieren offene Mengen [mm] V,W [/mm], so dass
[mm] V \cap W = \emptyset [/mm]
[mm] E = V \cup W [/mm]
[mm] V \not= \emptyset \not= W [/mm]
Aufgrund der Ausgewogenheit von [mm] E [/mm] gilt
[mm] \forall \alpha \in \Phi [/mm] mit [mm] |\alpha | \le 1 [/mm] gilt [mm] \alpha E \subset E [/mm].
Also: [mm] \alpha E = \alpha V \cup \alpha W [/mm], speziell für [mm] \alpha = 0 [/mm] folgt, dass [mm] 0 \in W, 0 \in V [/mm], im Widerspruch zu der Disjunktheit (oder was ist das Substantiv von disjunkt?).
Stimmt mein Beweis? Ich bin mir nur nicht ganz sicher bei folgender Gleichung:
[mm] \alpha E = \alpha V \cup \alpha W [/mm]
Danke und Gruss
physicus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Fr 09.09.2011 | | Autor: | hippias |
Ich muss gestehen, dass ich noch nie etwas ueber Ausgewogenheit gehoert habe. Aber damit dein Beweis richtig ist, muesstest Du wohl wissen, dass [mm] $\alpha V\subseteq [/mm] V$ und [mm] $\alpha W\subseteq [/mm] W$ gilt, also vermutlich auch die offene Ueberdeckung ausgewogen ist. Ich vermute stark, dass dies in der Regel nicht der Fall ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Fr 09.09.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo hippias
Danke für deine Mitteilung. Aber ich muss ja nur wissen, ob
[mm] \alpha E = \alpha W \cup \alpha V[/mm]
richtig ist. Deine Aussage ist ja eine andere. Sie würde besagen, dass ich eine ausgewogene Menge als Vereinigung endlich vieler offener ausgewogener Mengen schreiben kann. Was sicherlich falsch ist. Mein Ansatz für den Beweis war ja ein Widerspruchsannahme. Die einzige (für mich) kritische Frage ist, ob obige Mengengleichung richtig ist.
Gruss
physicus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Fr 09.09.2011 | | Autor: | hippias |
Deine Mengengleichung ist richtig, aber Deine Schlussfolgerung [mm] $0\in V\cap [/mm] W$ erscheint mir nicht richtig, weil ich nicht weiss, ob $W$ bzw. $V$ auch ausgewogen sind: Denn ist [mm] $\alpha= [/mm] 0$, so folgt natuerlich [mm] $0\in \alpha [/mm] V$, aber Du schlussfolgerst daraus auch [mm] $0\in [/mm] V$, was mir nicht ohne weiteres nachvollziehbar erscheint, denn wir haben aufgrund der Ausgewogenheit nur [mm] $\alpha V\subseteq [/mm] E$, wuerden fuer Deinen Schluss aber sogar [mm] $\alpha V\subseteq [/mm] V$ sicherstellen muessen.
Ich habe zwar kein Gegenbeispiel zu der Vermutung "ausgewogen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] zusammenhaengend", aber eines zu "E ausgewogen und $E= [mm] V\cup [/mm] W$ offene Ueberdeckung mit [mm] $\emptyset\neq U,W\neq [/mm] E$ [mm] $\Rightarrow$ $0\in V\cap [/mm] W$": Waehle $E= [mm] \IR$, [/mm] $V= [mm] (-\infty, [/mm] 1)$ und $W= [mm] (0,\infty)$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Fr 09.09.2011 | | Autor: | hippias |
Ich kann Deine Vermutung beweisen:
Sei $E$ ausgewogene Teilmenge eines topologischen Vektorraumes. Dann ist $E$ zusammenhaengend:
In einem topologische VR ist die Abbildung [mm] $f_{e}:[0,1]\to [/mm] E$, [mm] $\alpha\mapsto \alpha [/mm] e$ fuer alle [mm] $e\in [/mm] E$ stetig. Damit ist $E$ wegzusammenhaengend und erst recht zusammenhaengend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mo 12.09.2011 | | Autor: | physicus |
Edit: die Frage hat sich erledigt. Ich bitte einen Admin diese Frage zu schliessen.
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