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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Ausgleichproblem Aufstellen
Ausgleichproblem Aufstellen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ausgleichproblem Aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Mi 27.01.2016
Autor: just

Aufgabe
Für den technischen Prozeß, der sich durch
[mm] f(x)=r\bruch{x^2(1-x^2)}{6}+\bruch{p}{6}(x-1)x(11+5x)+q(x+3) [/mm]
brschreiben lässt, seien die Meßwerte

[mm] \begin{matrix} i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ x_{i} & -2 & -1 & 0 & 1 \\ f(x_{i}) & 6 & 10 & 5 & 15 \end{matrix} [/mm]

gegeben.

i) Stellen Sie zur Bestimmung der Paramneter r,p,q > 0 ein lineares Ausgleichproblem auf.
ii) Bestimmen Sie eine Lösung des Ausgleichproblems unter Verwendung der QR-Zerlegung.



Hallo Ihr,
eigentlich geht es nur um i). Ich weiß nicht, wie ich die Matrix aufstellen soll.

Ich geh das ganze so an:
Ich suche Ax=b.
Das b habe ich schon. Das sind die Ergebnisse von dem Versuch. Also [mm] b=\vektor{6 \\ 10 \\ 5 \\ 15} [/mm]
Die Gleichung besteht aus 3 Teilen. Rein zufälliger Weise kommt im ersten Teil nur r, im zweiten nur p und im dritten nur q vor. Nun muss ich mir überlegen, was für Werte die annehmen können, damit bei Eingabe eines x, ein bestimmter Funktionswert rauskommt.
Soweit korrekt?

So habe ich mir die Terme mal angeschaut und folgende Beobachtungen gemacht.

Der r-Term wird gleich 0, wenn [mm] x=1\vee-1\vee0 [/mm] ist.
Der p-Term wird gleich 0, wenn [mm] x=1\vee-2,2\vee0 [/mm] ist.
Der q-Term wird gleich 0, wenn x=-3 ist.

Wenn x also 1 wäre, wie das im 4. Messvorgang der Fall war, vielen die ersten beiden Terme weg, übrig bliebe also 3q = 15 => q=5

Leider weiß ich hier nicht weiter. Kann mir jemand nen Tipp geben?

zu ii) Versteht Ihr das auch so, dass ich mir hier aussuchen kann, mit welcher Methode ich die QR-Zerlegung mache?

Danke und liebe Grüße
just

P.s. Gibt es eine schönere Möglichkeit eine Wertetabelle anzulegen? Ich hab jetzt einfach ne Matrix genommen..

        
Bezug
Ausgleichproblem Aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Fr 29.01.2016
Autor: hippias

Der Vektor $x$ enthält die Unbekannten $r,p,q$. Die erste Gleichung lautet $f(-2)=6$, d.h. ausführlicher $-2r-p+q=6$. Damit wähle $(-2,-1,1)$ als erste Zeile von $A$. Die zweite Zeile ergibt sich analog aus [mm] $f(x_{2})= b_{2}$ [/mm] etc.

Ich sehe keinen Grund anzunehmem, weshalb eine bestimmte Methode zur $QR$-Zerlegung benutzt werden sollte.

Bezug
                
Bezug
Ausgleichproblem Aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Fr 29.01.2016
Autor: just

Danke für deine Antwort.
Leider blicke ich noch immer nicht durch.

Habe ich mir alles also viel zu kompliziert gemacht? Vielleicht kann mir jemand sagen, ob und warum mein Ansatz in die flasche Richtung geht?

Bezug
                        
Bezug
Ausgleichproblem Aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Fr 29.01.2016
Autor: hippias

Deine Rechnung hat doch eigentlich nichts mit dem von Dir gewählte Ansatz zu tun: $Ax=b$. Wenn Du im übrigen $q$ aus $f(0)= 5$ bestimmst, erhälst Du dann den gleichen Wert wie aus der anderen Gleichung?

Eben. Das System ist nicht exakt lösbar, und deshalb sollst Du ein Ausgleichsproblem lösen.

Dazu benötigst Du $A$ und $b$. $b$ hast Du Dir bereits überlegt. Wie Du $A$ bestimmst habe ich Dir vorgemacht. Versuche einmal die anderen Zeilen zu berechnen, indem Du die Koeffizienten vor $r,p,q$ abliest, die sich nach einsetzen der $x$ Werte ergeben.

  

Bezug
                                
Bezug
Ausgleichproblem Aufstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 Do 11.02.2016
Autor: just

Manchmal ist man ja wirklich selten dämlich.
Dass ich einfach für jedes x die gegebene gleichung 4x einsetzen muss und damit mein Gleichungssystem vor mir habe, habe ich nicht verstanden obwohl du es mir gesagt hast.
Dabei ist das doch eigentlich klar und logisch.
Umso mehr hab ich das jetzt verstanden:).

Danke nochmal!

Bezug
        
Bezug
Ausgleichproblem Aufstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:15 Fr 29.01.2016
Autor: hippias

Ich habe den Status der Frage auf "Beantwortet" gestellt.

Bezug
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