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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Fr 16.10.2009 | | Autor: | tamsin |
| Aufgabe | [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \exists [/mm] y [mm] \in \IR \forall [/mm] z [mm] \in \IR:
[/mm]
(((x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \vee [/mm] (y [mm] \le [/mm] 3)) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge \IR [/mm] ) [mm] \Rightarrow [/mm] (x+y [mm] \le [/mm] z)) |
Hallo,
dies ist unser erster Zettel in Ana und es sind 6 Aufgaben in diesem Still auf dem Zettel. Vielleicht kann mir jemand diese oben aufgeführte Aufgabe erklären, dann kann ich ganz bestimmt die restlichen Aufgaben selber lösen.
Schon mal Vielen Dank für Eure Tipps.
Tamsin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR \exists[/mm] y [mm]\in \IR \forall[/mm] z [mm]\in \IR:[/mm]
>
> (((x [mm]\le[/mm] 2) [mm]\vee[/mm] (y [mm]\le[/mm] 3)) [mm]\wedge[/mm] (z [mm]\ge \IR[/mm] ) [mm]\Rightarrow[/mm]
> (x+y [mm]\le[/mm] z))
Da hast du dich wohl vertippt: was soll da fuer $z [mm] \ge \IR$ [/mm] stehen?
> dies ist unser erster Zettel in Ana und es sind 6 Aufgaben
> in diesem Still auf dem Zettel. Vielleicht kann mir jemand
> diese oben aufgeführte Aufgabe erklären, dann kann ich
> ganz bestimmt die restlichen Aufgaben selber lösen.
Nun: du sollst zeigen, dass es zu jeder reellen Zahl $x [mm] \le [/mm] 2$ eine reelle Zahl $y [mm] \le [/mm] 3$ angeben, so dass fuer alle reellen Zahlen $z$ (mit $z [mm] \ge [/mm] $ irgendwas) gilt $x + y [mm] \le [/mm] z$.
Wenn du z.B. $y$ so waehlst, dass $x + y [mm] \le [/mm] irgendwas$ ist, dann gilt fuer alle $z [mm] \ge [/mm] irgendwas$, dass $x + y [mm] \le [/mm] z$ ist. Also: ueberleg dir, wie du $y$ waehlen musst, damit $x + y [mm] \le [/mm] irgendwas$ ist und $y [mm] \le [/mm] 3$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Fr 16.10.2009 | | Autor: | tamsin |
z [mm] \ge [/mm] 4
danke, ich werde dies gleich mal probieren.
sollte es nicht klappen melde ich mich noch mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Sa 17.10.2009 | | Autor: | tamsin |
(x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \wedge [/mm] (y [mm] \le [/mm] 3) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4)
[mm] \Rightarrow [/mm] x < z
[mm] \Rightarrow [/mm] x +1 [mm] \le [/mm] z
wähle nun y=1
[mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \wedge [/mm] (y [mm] \le [/mm] 3) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4) [mm] \Rightarrow [/mm] x +y [mm] \le [/mm] z
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Hiho,
eins vorweg: Du änderst hier mit jeder Frage die Aufgabe, so kann man dir nicht helfen.
Also schaue nächstemal bitte VORHER ob deine Aufgabe so stimmt, dafür gibts die Vorschaufunktion.
In deinem Ersten Posting stand:
[mm] $\forall x\in\IR$ $\exists y\in \IR$ $\forall z\in\IR$ [/mm] $((x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \vee(y \le [/mm] 3)) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4) [mm] \Rightarrow x+y\le [/mm] z$
Verwendet hast du in deiner Antwort aber gerade: $((x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \wedge(y \le [/mm] 3)) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4)$
Was soll denn nun gelten?
Als Tip: Eine Aussage zu widerlegen, schaffst du am einfachsten mit einem Gegenbeispiel.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 17.10.2009 | | Autor: | tamsin |
oh, das tut mir leid.
ich wollte eigentlich schreiben
[mm] \forall x\in\IR \exists y\in\IR \forall z\in\IR
[/mm]
(((x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \vee [/mm] (y [mm] \le [/mm] 3)) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4) [mm] \Rightarrow [/mm] (x+y =z))
wenn man nun davon ausgeht, ist meine lösung dann richtig?
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Hiho,
sollst du nun zeigen, dass dann $x+y = z $ oder das gilt $x+y [mm] \le [/mm] z$?
Schreibe doch bitte einmal die Aufgabe richtig hin und lies sie dir vorher nochmal durch.......... hast du anscheinend wieder nicht getan ......
Und zur vorgehensweise:
Um die Aussage zu beweisen, musst du entweder zeigen, dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] ein $y [mm] \in \IR$ [/mm] existiert, so dass für alle $z [mm] \in \IR$ [/mm] aus $((x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \vee [/mm] (y [mm] \le [/mm] 3)) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4)$ folgt, dass dann auch $x+y [mm] \le [/mm] z$ gilt.
Um die Aussage zu widerlegen, würde ein Gegenbeispiel reichen.
Dein vorgehen führt da leider nicht hin, da ist mir leider nicht so ganz klar, was du überhaupt zeigen wolltest.
Im übrigen folgt aus $x < z$ NICHT, dass dann $x+1 [mm] \le [/mm] z$.... wir sind hier nicht in den natürlichen Zahlen, sondern in [mm] \IR [/mm] !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Sa 17.10.2009 | | Autor: | tamsin |
ok. hier die aufgabe noch mal richtig:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \exists [/mm] y [mm] \in \IR \forall [/mm] z [mm] \in \IR: [/mm]
(((x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \vee [/mm] (y [mm] \le [/mm] 3)) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4 ) [mm] \Rightarrow [/mm] (x+y [mm] \le [/mm] z))
Was ich jetzt nicht verstehe, wieso ich ein Gegenbeispiel finden soll. Meineserachtens stimmt die Aussage, oder?
Ich muss doch für jedes x einfach ein y finden, so dass x+y kleiner gleich z ist. und da x höchsten 2 sein kann findet man doch immer ein y aus R, so dass die gleichung erfüllt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Sa 17.10.2009 | | Autor: | tamsin |
geht die Lösung vielleicht dann einfach so:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \le [/mm] 2 und [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IR [/mm] mit z [mm] \ge [/mm] 4 gilt x<z
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in \IR [/mm] : x+y [mm] \le [/mm] z
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Hiho,
> Was ich jetzt nicht verstehe, wieso ich ein Gegenbeispiel
> finden soll. Meineserachtens stimmt die Aussage, oder?
Das willst du ja gerade zeigen oder widerlegen.
> Ich muss doch für jedes x einfach ein y finden, so dass
> x+y kleiner gleich z ist. und da x höchsten 2 sein kann
> findet man doch immer ein y aus R, so dass die gleichung
> erfüllt ist.
Hm.... du musst für JEDES x ein y finden, so dass FÜR ALLE z gilt: Wenn [mm] x\le [/mm] 2 ODER y [mm] \le [/mm] 3 UND z [mm] \ge [/mm] 4 die Gleichung erfüllt ist.
Nun überlege mal, ob du zu jedem x ein y findest, so dass die Gleichung x+y [mm] \le [/mm] z für alle $z [mm] \ge [/mm] 4$ erfüllt ist.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Sa 17.10.2009 | | Autor: | tamsin |
>>Nun überlege mal, ob du zu jedem x ein y findest, so dass die Gleichung x+y [mm] \le [/mm] z für alle z [mm] \ge [/mm] 4 erfüllt ist.
ok. x muss kleiner gleich zwei sein. sprich wenn ich x so groß wie möglich wähle, nehme ich zwei.
da das oder in mathe kein ausschließendes oder ist, kann ich zum beispiel y gleich 1 nehmen.
so, und wenn nun x kleiner zwei wird und ich immer eins dazu addiere ist die summe doch immer kleiner 4
oder stehe ich gerade völlig auf dem schlauch???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
stell doch nächstemal bitte eine Frage:
Nein, x muss nicht kleiner gleich 2 sein, x kann beliebig gross werden.
Dort steht ja [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Überlege dir erstmal, wann deine Aussage hinter den Quantoren wahr ist und wann nicht.
Also wann ist:
$((x [mm] \le [/mm] 2) [mm] \vee (y\le [/mm] 3)) [mm] \wedge [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4) [mm] \Rightarrow [/mm] (x+y) [mm] \le [/mm] z$ wahr und wann falsch
Kann falsch auftreten, wenn ja, wann, wenn nein, warum nicht.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Sa 17.10.2009 | | Autor: | tamsin |
ok. dies ist eine oder bedingung also kann ich x für x ja auch fünf wählen...
und y 2 und dann stimmt die aussage nicht...
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Auslagenlogik: tolle Wortschöpfung !
Eine alte chinesische Weisheit kann man nun in
neue Worte fassen:
Gelät die Auslagenlogik dulcheinandel, dloht die
Schuldenfalle.
LG  Al
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[mm] $\forall x\in \IR\quad \exists y\in \IR\quad \forall [/mm] z [mm] \in \IR:$
[/mm]
$\ (x [mm] \le [/mm] 2\ [mm] \vee\ [/mm] y [mm] \le3)\, \wedge\, [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4 [mm] )\quad\Rightarrow\quad x+y\, \le\, [/mm] z$
Hallo Tamsin,
ich habe mir meine Notizen zu deiner Frage nochmal
vorgenommen und kann dir nun folgende Antwort
anbieten: Die Behauptung ist wahr. Man kann sie
beweisen, indem man für jedes beliebige [mm] x\in\IR [/mm] ein
passendes y vorlegt, derart, dass die Implikation
wahr wird.
Setzen wir
[mm] y:=\begin{cases}\ \ 1\ , & \mbox{falls}\ \ x\le 2 \\ \ \ 4\ , & \mbox{falls}\ \ x>2 \end{cases}
[/mm]
Nun betrachten wir die beiden möglichen Fälle:
1.) $\ [mm] x\le2$ [/mm] : dann ist $\ y=1$ und somit $\ [mm] x+y\le 2+1=3<4\le [/mm] z$
Somit ist in diesem Fall die Implikation $.....\ [mm] \Rightarrow\quad x+y\, \le\, [/mm] z$ wahr.
2.) $\ x>2$ : dann ist $\ y=4$
Damit ist weder [mm] x\le2 [/mm] noch [mm] y\le3 [/mm] wahr, also ist
$\ (x [mm] \le [/mm] 2\ [mm] \vee\ [/mm] y [mm] \le3)$ [/mm] und damit auch die Konjunktion
$\ (x [mm] \le [/mm] 2\ [mm] \vee\ [/mm] y [mm] \le3)\, \wedge\, [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4 )$ falsch.
Damit wird aber die Implikation
$\ (x [mm] \le [/mm] 2\ [mm] \vee\ [/mm] y [mm] \le3)\, \wedge\, [/mm] (z [mm] \ge [/mm] 4 [mm] )\quad\Rightarrow\quad x+y\, \le\, [/mm] z$
automatisch wahr.
In jedem der beiden möglichen Fälle entsteht
also eine wahre Aussage.
LG Al-Chwarizmi
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