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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 21.04.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo
Meine Aufgabe ist:
Bei welchen der folgenden Ausdrücke besteht die Gefahr der Auslöschung:
a) [mm] \bruch{1 - cos(x)}{x} [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0 ,|x| << 1
b) [mm] \bruch{2x^2}{(1 + 2x)(1+x)} [/mm] |x| << [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Forme gegebenfalls die Ausdrücke um, dass Auslöschung vermieden wird.
a) Für ganz ganz kleine x = 0,000.......1 besteht die Gefahr der Auslöschung weil cos(x) dafür fast 1 ist.
Nun muss ich den Ausdruck also Umstellen, bekomm ich aber einfach nicht hin. Könnte mir jemand vielleicht einen Tipp geben.
b) Auch hier soll x sehr sehr klein sein nach Voraussetzung, der Form x = [mm] \pm [/mm] 0,000.......1 , aber dafür besteht doch keine Gefahr der Auslöschung, oder seh ich da was falsch?
Danke für jede Hilfe,
Bye Tito
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:32 Do 21.04.2005 | | Autor: | choosy |
zum ersten Term:
wie wärs mit
[mm] $\frac{1-\cos(x)}{x} [/mm] = [mm] \frac{(1-\cos(x))(1-\cos(x))}{x-\cos(x)} [/mm] = [mm] \frac{(1-2\cos(x))+\cos(x)^2}{x-\cos(x)} [/mm] $
von wegen fehlerhaft: ich denke die rechnung ist korrekt, ist ja auch nur ein vorschlag....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Do 21.04.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo, danke für die Antwort.
zum ersten Term:
> wie wärs mit
> [mm]\frac{1-\cos(x)}{x} = \frac{(1-\cos(x))(1-\cos(x))}{x+\cos(x)} = \frac{(1-2\cos(x))+\cos(x)^2}{x-\cos(x)}[/mm]
So einen Term hat ich mir auch schon überlegt aber wenn ich jetzt wieder einen Wert x = 0,000000......1 einsetze, könnte es meiner Meinung nach wieder zur Auslöschung kommen, weil ja
[mm] \frac{(1-2\cos(x))+\cos(x)^2}{x-\cos(x)} [/mm] = [mm] \frac{(1-2(1))+1^2}{x-1} [/mm] = 0 ist und das soll ja irgendwie vermieden werden. Kann man nicht irgendwie dieses Minus weg bekommen.
Gruß
Tito
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Do 21.04.2005 | | Autor: | choosy |
> Hallo, danke für die Antwort.
>
> zum ersten Term:
> > wie wärs mit
> > [mm]\frac{1-\cos(x)}{x} = \frac{(1-\cos(x))(1-\cos(x))}{x+\cos(x)} = \frac{(1-2\cos(x))+\cos(x)^2}{x-\cos(x)}[/mm]
>
> So einen Term hat ich mir auch schon überlegt aber wenn ich
> jetzt wieder einen Wert x = 0,000000......1 einsetze,
> könnte es meiner Meinung nach wieder zur Auslöschung
> kommen, weil ja
> [mm]\frac{(1-2\cos(x))+\cos(x)^2}{x-\cos(x)}[/mm] =
> [mm]\frac{(1-2(1))+1^2}{x-1}[/mm] = 0 ist und das soll ja irgendwie
> vermieden werden. Kann man nicht irgendwie dieses Minus weg
> bekommen.
> Gruß
> Tito
na das der term als ergebniss 0 hat wirst du nicht ändern können, sonst hättest du dich verrechnet....
du musst auch nicht das - wegbekommen, da es für auslöschung nur wichtig ist von einer zahl keine fast genau so grosse abzuziehen.
nach meiner umformung wird halt nun nicht mehr 1-0.9999999999999
gerechnet, sondern eben 1-1,99999999 was dem rechner keine probleme mehr bereiten sollte. die additionen tun eh nix und im nenner gibts keine probleme wegen x<<1
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Hallo choosy,
Wenn man ,der Einfachheit halber, mit 4 gültigen Stellen rechnet.
Gleichungen
1. 1-x
2. 1-2x+x (und in etwa steht das da)
Sei x=0.99993 (Wahrer Wert )
Dann ist der Fehler haargenau derselbe.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo choosy,
Mit dem Term der die Auslöschung verursacht zu erweitern verschiebt die Auslöschung quasi erstmal in den Nenner. Erweitern an sich ist aber eine gute Idee. Da hab ich erst zu kompliziert gedacht. Wenn man mit 1+cos(x) erweitert wird nach 1,2 weiteren Überlegungen auch Auslöschung vermieden.
gruß
mathemaduenn
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Hallo Tito,
> a) Für ganz ganz kleine x = 0,000.......1 besteht die
> Gefahr der Auslöschung weil cos(x) dafür fast 1 ist.
> Nun muss ich den Ausdruck also Umstellen, bekomm ich aber
> einfach nicht hin. Könnte mir jemand vielleicht einen Tipp
> geben.
Tipp: Versuch's mit Additionstheoremen cos(2x)=... (bzw. [mm] cos(2(\bruch{x}{2}))[/mm]
> b) Auch hier soll x sehr sehr klein sein nach
> Voraussetzung, der Form x = [mm]\pm[/mm] 0,000.......1 , aber dafür
> besteht doch keine Gefahr der Auslöschung, oder seh ich da
> was falsch?
Das seh ich auch so.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:01 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo ihr beiden,
Danke für die Hilfe, müsste ich jetzt eigentlich hinbekommen.
Gruß
Tito
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