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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Skully |
| Aufgabe | Sei v [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] ||v||_2 [/mm] = 1.
Bestimmen sie [mm] vv^T [/mm]. |
Hi!
Also meine Frage ist, wie würde so eine Matrix aussehen bzw. was weiss ich nun über Diese bzw. diesen Vektor v dank der obigen Eigenschaft?
In der eigentlichen Aufgabe soll dann später der Kern/Bild/Eigenwerte bestimmt werden, aber dafür brauche ich die vorherige Frage beantwortet.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=80012
Skully
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> Sei v [mm]\in \IR^n[/mm] mit [mm]||v||_2[/mm] = 1.
> Bestimmen sie [mm]vv^T [/mm].
> Hi!
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> Also meine Frage ist, wie würde so eine Matrix aussehen
> bzw. was weiss ich nun über Diese bzw. diesen Vektor v dank
> der obigen Eigenschaft?
Hallo,
Du weißt, daß die "Länge" dieses Vektors [mm] v=(v_1,...,v_n), [/mm] die euklidische Norm, [mm] \wurzel{v_1^2+...+v_n^2}=1 [/mm] ist, es ist also ein normierter Vektor.
EDITIERT:
[mm] v*v^t=\vektor{v_1 \\ ...\\v_n}(v_1,...,v_n)=... [/mm] (Matrixprodukt.)
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
hast du da nicht [mm] v^t\cdot{}v [/mm] berechnet?
m.E. ergibt sich für [mm] v\cdot{}v^t [/mm] eine symmetrische [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix mit
[mm] $v_i^2$ [/mm] auf der Diagonalen und [mm] $v_i\cdot{}v_j$ [/mm] sonst,
also sowas:
[mm] $v\cdot{}v^t=\vektor{v_1\\v_2\\\vdots{}\\v_n}\cdot{}(v_1 v_2 \cdots{}v_n)=\pmat{ v_1^2 & v_1v_2 & v_1v_3&...&v_1v_n\\ v_1v_2&v_2^2&v_2v_3 & ...&v_2v_n \\v_1v_3&v_2v_3&v_3^2&...&v_3v_n\\\vdots{}&\cdots{}&\cdots{}&\cdots{}&\vdots\\v_1v_n&\cdots{}&\cdots{}&\cdots{}&v_n^2}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Angela,
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> hast du da nicht [mm]v^t\cdot{}v[/mm] berechnet?
Du hast recht!
Die Einfachheit des anderen war zu verlockend.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Skully |
Da v ja nun normiert ist, bedeutet dies nicht das v ein Einheitsvektor ist?
Würde die Matrix dann nicht nur aus Nullen bestehen und an einer Stelle eine Eins?
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> Da v ja nun normiert ist, bedeutet dies nicht das v ein
> Einheitsvektor ist?
Ja.
> Würde die Matrix dann nicht nur aus Nullen bestehen und an
> einer Stelle eine Eins?
Das kannst Du ja ausprobieren.
Normiere z.B. den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2\\2} [/mm] und berechne dann das entsprechende Produkt.
Gruß v. Angela
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Hallo skully,
es wäre vllt. ganz hilfreich, wenn du die gesamte Aufgabe mal posten könntest.
Ich habe mir was zu den EWen überlegt.
Wenn du man zugrunde legst, dass [mm] $v\cdot{}v^t$ [/mm] diese symmetrische Matrix A ergibt, die ich in meinem anderen post erwähnt habe, kannst du mal versuchen, deren Eigenwerte zu bestimmen.
Das kannst du per Induktion machen.
Mach das mal für n=2 und n=3, dann solltest du ein nettes Schema für die Eigenwerte erkennen, wobei dir dann die Vor. $||v||=1$ hilft.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Skully |
1) [mm] Bild(vv^T) [/mm] und [mm] dim(Bild(vv^T))
[/mm]
2) [mm] Kern(vv^T) [/mm] und Dimension davon
3) alle EW von [mm] vv^T [/mm] und Dimensionen der Eigenräume
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