Aussage über eine Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgendes soll gezeigt werden:
Sei G eine Gruppe ungerader Ordnung, dann gilt für a,b,c [mm] \in [/mm] G:
abcba=c [mm] \Rightarrow [/mm] ab=e.
Hier fällt mir nicht viel ein, als die Vorschrift mal iterativ fortzuführen:
[mm] c=abcba=ababcbaba=...=(ab)^kc(ba)^k.
[/mm]
Irgendwie muss ich die ungerade Ordnung einbauen, da die Elemente a und b ja jeweils 2k mal vorkommen, sollte dies der Schlüssel zum Erfolg sein. Leider komme ich nicht drauf. Hat jemand einen Tipp?
Ein frohes Fest!
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Hey,
ich glaube dir die Aussage ehrlich gesagt nicht...
Betrachten wir [mm] $G=C_3=\langle [/mm] x [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $H=C_3=\langle [/mm] y [mm] \rangle$ [/mm] sowie das $S$ als das semidirekte Produkt von $G$ und $H$ definiert durch $xy = [mm] yx^{-1}$ [/mm] oder äquivalent: $xyx=y$.
Dann hat $S$ Ordnung $9$, also ungerade.
Mit der Wahl $a=e,b=x,c=y$ haben wir hier ein Gegenbeispiel gefunden, denn $ab = x$ ist sicher nicht gleich $e$.
Also gibt es jetzt zwei Möglichkeiten, die ähnlich wahrscheinlich erscheinen:
1) Du hast uns nicht die gesamte Aufgabe verraten oder die Aufgabenstellung ist aus sonst irgend einem Grund unvollständig oder falsch; soll etwa $abcba=c$ für alle $c$ aus $G$ gelten; nur dann soll $ab=e$ folgen? (nur als Beispiel).
2) Mein Gegenbeispiel ist aufgrund von fortgeschrittener Tageszeit und Feiertagsstimmung nicht ausreichend durchdacht.
So oder so möchte ich dich bitten nochmal nachzuschauen, ob du wirklich alle Infos über die Aufgabe gegeben hast.
Und sollte jemand mein Gegenbeispiel aushebeln können; auch kein Problem. :)
lg
Schadow
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Hi Shadowmaster,
Welche Operation von welcher der beiden Gruppen auf die andere betrachtest du? Ich kann das deinem ersten Absatz leider nicht entnehmen. Nachdem ich die Aufgabe nicht auf Anhieb lösen konnte, habe ich in ähnlicher Richtung wie du nach Gegenbeispielen gesucht. Ich weiß nicht ob es für die Aufgabe hilfreich ist, aber falls man gerne mit Konjugation arbeitet, könnte man sich die Gleichung mal als $ [mm] c(ba)^{-1} c^{-1}=ab [/mm] $ aufschreiben, aber mir hat das auch nicht weitergeholfen.
Edit: In jedem Fall ist dein Gegenbeispiel nicht richtig, denn fals $ a, b $ kommutieren, kann ich die Behauptung zeigen, und das tun sie in deinem Beispiel ja.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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Hmm, wie zeigst du das, wenn die beiden kommutieren?
Das war bei mir mit das größte Problem; ggf. kann ich dann den Rest zeigen. ;)
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Ich verwende meine Formel aus dem letzten Post, wenn $ ab=ba $ wird diese zu $ c [mm] (ab)^{-1} c^{-1}=ab [/mm] $. Dann haben wir auch $ [mm] cabc^{-1}=(c (ab)^{-1} c^{-1} )^{-1}=(ab)^{-1} [/mm] $. Durch wiederholtes Anwenden finden wir $ [mm] c^{2n+1}(ab)^{-1} c^{-(2n+1)}=ab [/mm] $ für alle $ n $. Wählen wir [mm] $2n+1=\operatorname [/mm] { ord} G $, so folgt [mm] $(ab)^{-1}=ab [/mm] $, also [mm] $(ab)^2=1 [/mm] $ und da $ G $ ungerade Ordnung hat, $ ab=1 $.
Ich denke auch, dass man das vielleicht auch ohne Kommutativität so hinbekommt, aber ich setze da mal auf dich 
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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Ok, wenn wir mal deine Umformungen glauben und das ganze vom Anfang etwas anders schreiben:
Setzen wir $x := ab$.
Dann ist $abcba = c [mm] \gdw xcbxb^{-1}=c \gdw [/mm] x(cb)x=cb$
Setzen wir nun $y := cb$, so haben wir also
$xyx=y$ und müssen daraus $x=e$ folgern.
Wenden wir dein Verfahren an, so haben wir $x = [mm] yx^{-1}y^{-1}$.
[/mm]
Der Rest läuft dann analog genau wie bei dir durch.
Wegen meinem Gegenbeispiel fällt mir auch gerade ein, dass eine Gruppe der Ordnung 9 immer kommutativ ist...
lg
Schadow
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Sieht gut aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn wir mal deine Umformungen glauben
Tun wir das?
Liebe Grüße
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Also die Aussage sollte schon stimmen, habe mich jedenfalls nicht verschrieben^^.
So ganz kann ich euch leider nicht folgen, benutzt ihr jetzt, dass die Gruppe abelsch ist? Das soll nämlich auch für nicht kommutative Gruppen ungerader Ordnung gelten.
Sorry, wenn ich nochmal so doof nachfragen muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 25.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also die Aussage sollte schon stimmen, habe mich jedenfalls
> nicht verschrieben^^.
>
> So ganz kann ich euch leider nicht folgen, benutzt ihr
> jetzt, dass die Gruppe abelsch ist?
ich habe das nur grob überflogen, aber soweit ich das sehe, gilt das
bisher gezeigte so nur für abelsche Gruppen - das wird dort in der Tat
benutzt!
> Das soll nämlich auch für nicht kommutative Gruppen ungerader
> Ordnung gelten.
Naja, so hättest Du wenigstens schonmal einen Teil der Aufgabe. Wie viele
Punkte der Wert wäre, muss man dem Korrektor überlassen. Es ist jedenfalls
besser als nichts, und hat ja auch mit der Aufgabe zu tun. Man hat halt nur
"zu viele" Voraussetzungen benutzt (es ist aber etwas anderes, wie, wenn
Du eine komplett andere Aufgabe lösen würdest - vergleichsweise:
Du sollst zeigen, dass eine Aussage für differenzierbare Funktionen gilt;
und Du beweist diese Aussage aber für Funktionen, die stetig differenzierbar
sind [stetig diff'bar=diff'bar mit stetiger Ableitung]).
> Sorry, wenn ich nochmal so doof nachfragen muss.
Das war keine(!) doofe Nachfrage!
Gruß,
Marcel
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Hi,
Nein, in den Beiträgen versteckt sich der vollständige Beweis: Ersetze überall in meinem Beitrag $ g=ab $ und $ h=c $. Dort steht dann für $ g, h $ beliebig aus $ G $ ohne Zusatzannahmen der Beweis: Aus $ [mm] hg^{-1}h^{-1}=g [/mm] $ folgt, dass $ g=1 $. Auf dieses Resultat hat Shadowmaster das ganze dann mit seinem x und y zurückgeführt.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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