Aussage über lineare Polynome < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 So 29.05.2011 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Sei P [mm] \in \IC[X] [/mm] ein Polynom und es gelte [mm] P(z)\in\IR [/mm] genau dann wenn [mm] z\in\R. [/mm] Zeigen Sie:
Ein Polynom mit dieser Eigenschaft ist linear. |
Hallo zusammen!
Ich häng jetzt schon seit mehren Stunden an dieser Aufgabe und meine Ideen sind irgendwie ausgereizt, obwohl leider noch nicht ewig viel dabei rauskam.
Also hier was ich bisher habe:
P kann auf keinen Fall konstant sein.
Da [mm] P\in\IC[X] [/mm] ist [mm] P(z)=\summe_{k=0}^{n}a_{k}X^{k} [/mm] mit [mm] n\ge1, a_{n}\not=0 [/mm] und [mm] a_{k}\in\IC\ \forall k\in \{0,1,...n\} [/mm] .
Und wegen dieser Eigenschaft aus der Aufgabe ist sogar [mm] a_{k}\in\IR\ \forall k\in \{0,1,...,n\}. [/mm] Und auch sind alle Nullstellen reell, da ja [mm] 0\in\IR.
[/mm]
Und da das Polynom aus [mm] \IC[X] [/mm] ist müsste es doch in Linearfaktoren zerfallen. Also würde das heißen, dass es genau n reelle (nicht notwendigerweise verschiedene) Nullstellen gibt. Oder?
Aber irgendwie bringt mich das alles nicht weiter...
Hat mir vielleicht jemand einen guten Tipp? Oder einen besseren Ansatz?
Bin wie gesagt sehr festgefahren gerade.
Beste Dank schonmal!!!
Alles Gute!
skoopa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 So 29.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo skoopa,
> Sei P [mm]\in \IC[X][/mm] ein Polynom und es gelte [mm]P(z)\in\IR[/mm] genau
> dann wenn [mm]z\in\IR.[/mm] Zeigen Sie:
> Ein Polynom mit dieser Eigenschaft ist linear.
> Hallo zusammen!
> Ich häng jetzt schon seit mehren Stunden an dieser
> Aufgabe und meine Ideen sind irgendwie ausgereizt, obwohl
> leider noch nicht ewig viel dabei rauskam.
> Also hier was ich bisher habe:
> P kann auf keinen Fall konstant sein.
> Da [mm]P\in\IC[X][/mm] ist [mm]P(z)=\summe_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}[/mm] mit
> [mm]n\ge1, a_{n}\not=0[/mm] und [mm]a_{k}\in\IC\ \forall k\in \{0,1,...n\}[/mm]
> .
> Und wegen dieser Eigenschaft aus der Aufgabe ist sogar
> [mm]a_{k}\in\IR\ \forall k\in \{0,1,...,n\}.[/mm] Und auch sind
> alle Nullstellen reell, da ja [mm]0\in\IR.[/mm]
> Und da das Polynom aus [mm]\IC[X][/mm] ist müsste es doch in
> Linearfaktoren zerfallen. Also würde das heißen, dass es
> genau n reelle (nicht notwendigerweise verschiedene)
> Nullstellen gibt. Oder?
Das ist alles richtig.
> Aber irgendwie bringt mich das alles nicht weiter...
> Hat mir vielleicht jemand einen guten Tipp? Oder einen
> besseren Ansatz?
> Bin wie gesagt sehr festgefahren gerade.
Du hast also ein Polynom [mm]P(X)[/mm] mit reellen Koeffizienten. Außerdem gilt [mm]P(X)\in\mathbb R\ \Leftrightarrow\ X\in\mathbb R[/mm]. Die Richtung "[mm]\Leftarrow[/mm]" ist klar. Der Knackpunkt ist aber "[mm]\Rightarrow[/mm]": Du kannst im Allgemeinen nicht garantieren, dass [mm]P(X)=c[/mm], [mm]c\in\mathbb R[/mm], nur reelle Lösungen hat.
Zum Beispiel: [mm]P(X)=X^3+X^2+X+1[/mm]
Für reelle X ist das auch reell. Aber z.B. für [mm]P(X)=1[/mm] findest du die Lösungen 0, [mm]-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt 3}{2}[/mm].
Ich hoffe, das bringt dich ein bisschen weiter.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 29.05.2011 | | Autor: | skoopa |
Danke erstmal für die Antwort!
> Du hast also ein Polynom [mm]P(X)[/mm] mit reellen Koeffizienten.
> Außerdem gilt [mm]P(X)\in\mathbb R\ \Leftrightarrow\ X\in\mathbb R[/mm].
> Die Richtung "[mm]\Leftarrow[/mm]" ist klar. Der Knackpunkt ist aber
> "[mm]\Rightarrow[/mm]": Du kannst im Allgemeinen nicht garantieren,
> dass [mm]P(X)=c[/mm], [mm]c\in\mathbb R[/mm], nur reelle Lösungen hat.
> Zum Beispiel: [mm]P(X)=X^3+X^2+X+1[/mm]
> Für reelle X ist das auch reell. Aber z.B. für [mm]P(X)=1[/mm]
> findest du die Lösungen 0, [mm]-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt 3}{2}[/mm].
>
> Ich hoffe, das bringt dich ein bisschen weiter.
Leider nicht wirklich... Soweit konnte ich noch denken. Anschaulich ist das ja irgendwie ersichtlich. Aber die Frage ist nun eben wie kann ich daraus folgern, dass das Polynom linear ist?
> Lieben Gruß,
> Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 29.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
Angenommen [mm] $\deg [/mm] P > 1$. Es gibt [mm] $z_1, z_2 \in \IC$, [/mm] nicht beide reell, mit [mm] $P(z_1) [/mm] = [mm] P(z_2)$. [/mm] Waehle $R$ mit $R > [mm] |z_i|$ [/mm] fuer beide $i$.
Nach der Gebietstreue ist das Bild von [mm] $\{ |z| < R \}$ [/mm] unter $P$ wieder ein Gebiet, welches [mm] $P(z_1)$ [/mm] enthaelt. Betrachte jetzt die Kurve [mm] $\gamma(t) [/mm] := P(R [mm] e^{\pi i t})$, [/mm] $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$. [/mm] Diese nimmt fuer genau zwei Werte von $t$ reelle Werte an, womit die Kurve [mm] $P(z_1)$ [/mm] genau einmal umlaeuft.
Die Umlaufzahl ist jedoch nach dem Argumentsprinzip gleich der Anzahl der [mm] $P(z_1)$-Stellen [/mm] von $P$ in [mm] $\{ |z| < R \}$, [/mm] und diese Anzahl ist [mm] $\ge [/mm] 2$.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:29 Mo 30.05.2011 | | Autor: | skoopa |
HeyHey!
Besten Dank für die Lösung!
Allerdings bedient die sich Mittel, die mir noch nicht zur Verfügung stehen, z.B. das Argumentsprinzip.
Hast du mir vielleicht eine andere Idee?
Hab mich schon mit mehreren Freunden kurzgeschlossen, aber keiner kommt weiter...
Die Mittel, die uns zur Verfügung stehen sind recht elementar. Unsere (bisherigen) Hauptergebnisse sind:
Cauchy Integralsatz und -formel, Fundamentalsatz der Algebra, Satz über Gebietstreue, Taylorreihen.
> Moin!
>
> Angenommen [mm]\deg P > 1[/mm]. Es gibt [mm]z_1, z_2 \in \IC[/mm], nicht
> beide reell, mit [mm]P(z_1) = P(z_2)[/mm]. Waehle [mm]R[/mm] mit [mm]R > |z_i|[/mm]
> fuer beide [mm]i[/mm].
Warum existieren diese [mm] z_{1}, z_{2} [/mm] ? Irgendwie seh ich das noch nicht...
Und muss [mm] z_{1}\not= z_{2} [/mm] sein?
>
> Nach der Gebietstreue ist das Bild von [mm]\{ |z| < R \}[/mm] unter
> [mm]P[/mm] wieder ein Gebiet, welches [mm]P(z_1)[/mm] enthaelt. Betrachte
> jetzt die Kurve [mm]\gamma(t) := P(R e^{\pi i t})[/mm], [mm]t \in [0, 2 \pi)[/mm].
> Diese nimmt fuer genau zwei Werte von [mm]t[/mm] reelle Werte an,
> womit die Kurve [mm]P(z_1)[/mm] genau einmal umlaeuft.
>
> Die Umlaufzahl ist jedoch nach dem Argumentsprinzip gleich
> der Anzahl der [mm]P(z_1)[/mm]-Stellen von [mm]P[/mm] in [mm]\{ |z| < R \}[/mm], und
> diese Anzahl ist [mm]\ge 2[/mm].
>
> LG Felix
>
Vielen Dank für die Hilfe!!!
Beste Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mo 30.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Besten Dank für die Lösung!
> Allerdings bedient die sich Mittel, die mir noch nicht zur
> Verfügung stehen, z.B. das Argumentsprinzip.
> Hast du mir vielleicht eine andere Idee?
ich muss noch mal drueber nachdenken, allerdings weiss ich nicht wann ich Zeit dazu hab...
> > Angenommen [mm]\deg P > 1[/mm]. Es gibt [mm]z_1, z_2 \in \IC[/mm], nicht
> > beide reell, mit [mm]P(z_1) = P(z_2)[/mm]. Waehle [mm]R[/mm] mit [mm]R > |z_i|[/mm]
> > fuer beide [mm]i[/mm].
>
> Warum existieren diese [mm]z_{1}, z_{2}[/mm] ? Irgendwie seh ich das
> noch nicht...
> Und muss [mm]z_{1}\not= z_{2}[/mm] sein?
Nun, nimm irgendein [mm] $z_1 \not\in \IR$; [/mm] dann ist nach Voraussetzung [mm] $P(z_1) \not\in \IR$. [/mm] Betrachte $Q(z) := P(z) - [mm] P(z_1)$; [/mm] dann ist $Q$ ein Polynom von Grad $n = [mm] \deg [/mm] P$ mit [mm] $Q(z_1) [/mm] = 0$. Nach dem Fundamentalsatz hat $Q$ jetzt $n$ Nullstellen: gibt es eine ungleich [mm] $z_1$, [/mm] so kannst du diese als [mm] $z_2$ [/mm] nehmen. Nach Voraussetzung an $P$ muss [mm] $z_2$ [/mm] ebenfalls echt komplex sein.
Ist [mm] $z_1$ [/mm] eine $n$-fache Nullstelle von $Q$, also $Q = [mm] \alpha [/mm] (z - [mm] z_1)^n$, [/mm] so ist $P = [mm] \alpha [/mm] (z - [mm] z_1)^n [/mm] + [mm] \beta$ [/mm] mit [mm] $\alpha, \beta \in \IC$. [/mm] Damit kannst du jetzt recht einfach explizit ein [mm] $z_3 \in \IC \setminus \IR$ [/mm] konstruieren mit [mm] $P(z_3) \in \IR$. [/mm] Diesen Fall kannst du also schnell ausschliessen.
(Tatsaechlich ist es so, dass die Menge der [mm] $z_1$ [/mm] fuer die $Q$ nur eine Nullstelle hat endlich ist, sobald [mm] $\deg [/mm] P > 1$ ist -- das kann man mit der Theorie der Diskriminanten von Polynomen recht schnell zeigen.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Mo 30.05.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
Also viiiiielen Dank für die Hilfe und die Zusatzerklärung!!!
Habs jetzt verstanden.
Und unser Tutor hat uns jetzt doch noch einen Tipp gegeben.
Und dieser Tipp ist, dass wir uns mal anschauen sollen, was diese Bedingung mit den reellen Koeffizienten und reellen Nullstellen für eine Auswirkung auf die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen hat.
Vielleicht klappts so. Ich werd mich nochmal hinsetzen :)
Beste Grüße!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 03.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Sa 04.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich hab mir mal folgenden Fall vorgenommen:
Sei [mm] $P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2$ [/mm] und es gelte: $P(z) [mm] \in \IR \gdw [/mm] z [mm] \in \IR$
[/mm]
Wir wissen schon: [mm] a_0,a_1,a_2 \in \IR.
[/mm]
Behauptung: [mm] a_2=0.
[/mm]
Beweis: Annahme: [mm] a_2 \ne [/mm] 0. Wegen [mm] $P(i)=a_0+a_1i-a_2$ [/mm] ist [mm] a_1 \ne [/mm] 0.
Für r>0 und t [mm] \in \IR [/mm] ist
(*) [mm] $Im(P(re^{it}))= sin(t)(ra_1+2r^2a_2cos(t))$
[/mm]
Wähle nun [mm] $r=|a_1|/|a_2|$ [/mm] und [mm] t_0 \in \IR [/mm] so, dass [mm] $cos(t_0)= -\bruch{a_1}{2ra_2}$. [/mm] Dann ist [mm] $cos^2(t_0)=1/4$, [/mm] also [mm] sin(t_0) \ne [/mm] 0
Aus (*) folgt: [mm] $Im(P(re^{it_0}))=0$. [/mm] Mit [mm] z_0:=re^{it_0} [/mm] haben wir dann:
[mm] $z_0 \notin \IR$, [/mm] aber [mm] $P(z_0) \in \IR$
[/mm]
Widerspruch !
Verallgemeinere diesen Beweis !
FRED
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