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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 10.11.2011 | | Autor: | Reducer |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR\to\IR [/mm] eine Funktion mit der Eigenschaft:
f(x+y)=f(x)+f(y) [mm] \forall x,y\in\IR
[/mm]
Zeige die folgende Aussage:
f(q*x) = q*f(x) für alle [mm] q\in\IQ,x\in\IR [/mm] |
Hallo
Stehe bei der Aufgabe an, bzw. verstehe die Aufgabenstellung nicht.
Soll ich bei f(x+y) nun für y (q*x) einsetzten? Ist das der richtige Ansatz?
Danke für Hilfe
Grüsse Reducer
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Hallo,
nun ja, wenn du die Homomorphie der Summe benutzen möchtest, dann musst du eben wieder eine Summe einsetzen.
Nimm etwa
[mm]q*x=a*x+b*x[/mm]
und setze mal die rechte Seite ein. Vereinfache das Resultat dann geeignet.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 So 13.11.2011 | | Autor: | Reducer |
Hallo Diophant
> Hallo,
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> nun ja, wenn du die Homomorphie
was für ein wunderbares Wort;)
> der Summe benutzen
> möchtest, dann musst du eben wieder eine Summe einsetzen.
Ich habe keine Ahnung was ich wo einsetzen soll!
>
> Nimm etwa
>
> [mm]q*x=a*x+b*x[/mm]
>
> und setze mal die rechte Seite ein. Vereinfache das
> Resultat dann geeignet.
>
> Gruß, Diophant
Also wenn ich dich richtig verstehe
f(q*x)=f(a*x)+f(b*x)
qf(x)=af(x)+bf(x)
dann mit f(x) kürzen und mit [mm] \IQ [/mm] resp. [mm] \IR [/mm] testen
q=a+b
0,25=0,12+0,13
..irgendwie planlos
Gruss Reducer
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Hallo,
> Sei f: [mm]\IR\to\IR[/mm] eine Funktion mit der Eigenschaft:
> f(x+y)=f(x)+f(y) [mm]\forall x,y\in\IR[/mm]
>
> Zeige die folgende Aussage:
> f(q*x) = q*f(x) für alle [mm]q\in\IQ,x\in\IR[/mm]
Sei [mm] a/b\in\IQ [/mm] mit [mm] a\in\IZ, 0\neq b\in\IN.
[/mm]
Aus der Funktionalgleichung folgt (per Induktion)
(*) [mm] f\left(\frac{a}{b}x\right)=f\left(\underbrace{\frac{x}{b}+\ldots+\frac{x}{b}}_{a}\right)=a*f\left(\frac{x}{b}\right).
[/mm]
Ebenso folgt
(**) [mm] f\left(x\right)=f\left(\underbrace{\frac{x}{b}+\ldots+\frac{x}{b}}_{b}\right)=bf\left(\frac{x}{b}\right)
[/mm]
Aus (*) und (**) folgt die Behauptung.
LG
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