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| Aufgabe | Hallo, die Aufgabensteluung lautet:
Sei F : V [mm] \mapsto [/mm] W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden
Aussagen äquivalent sind:
a) F ist surjektiv,
b) F* ist injektiv.
Folgern Sie daraus (ohne es neu zu beweisen!), dass auch die Aussagen
a) F* ist surjektiv,
b) F ist injektiv
äquivalent sind. |
So ein Aufgabentyp ist mir völlig fremd_hatten wir also noch nie gehabt_was muss man hier genau machen?
Danke.
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Hallo DoktorQuagga!
> Hallo, die Aufgabensteluung lautet:
> Sei F : V [mm]\mapsto[/mm] W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie,
> dass die folgenden
> Aussagen äquivalent sind:
> a) F ist surjektiv,
> b) F* ist injektiv.
> Folgern Sie daraus (ohne es neu zu beweisen!), dass auch
> die Aussagen
> a) F* ist surjektiv,
> b) F ist injektiv
> äquivalent sind.
> So ein Aufgabentyp ist mir völlig fremd_hatten wir also
> noch nie gehabt_was muss man hier genau machen?
> Danke.
Um zu zeigen, dass zwei Aussagen äquivalent sind, muss man immer zeigen, dass aus der einen die andere folgt und aus der "anderen" die "eine". Hier musst du also zeigen: [mm] a)\Rightarrow [/mm] b) und [mm] b)\Rightarrow [/mm] a).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Hallo, die Aufgabensteluung lautet:
> Sei F : V [mm]\mapsto[/mm] W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie,
> dass die folgenden
> Aussagen äquivalent sind:
> a) F ist surjektiv,
> b) F* ist injektiv.
> So ein Aufgabentyp ist mir völlig fremd_hatten wir also
> noch nie gehabt_was muss man hier genau machen?
Hallo,
daß Du beide Richtungen zeigen mußt, hat Dir Bastiane ja schon gesagt.
Generell wirst Du Dich daran gewöhnen müssen, daß in Hausübungen "fremde Aufgabentypen" dran kommen.
So sehr sich Aufgaben unterscheiden, der Beginn ist jedesmal gleich: die Sichtung des Materials, die Klärung der Begriffe. Hier:
1. Was ist eine lineare Abbildung?
2. Was bedeutet es, wenn F surjektiv ist?
3. Was verbirgt sich hinter F*?
4. Was bedeutet es, wenn F* injektiv ist?
5. Wie zeigt man Injektivität bei linearen Abbildungen?
Diese Überlegungen sind unbedingt vor Beginn anzustellen, und dies sind auch erste eigene Ansätze zur Lösung der Aufgaben, welche wir von Dir erwarten. Ich möchte Dich bitten, solche in Zukunft zu liefern.
Zur Hin-Richtung des Beweises:
Nimm an, daß F surjektiv ist, und zeige, daß der Kern von F* nur aus der Null besteht.
Ein zuvoriges Nachdenken darüber, was "Null" in diesem Falle bedeutet, ist anzuraten.
(Zwischen welchen Räumen "spielt" F*? )
Gruß v. Angela
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zu 1)
Lineare Abbildungen sind Abbildungen, die additiv und homogen sind.
zu 2)
Wenn f surjektiv ist, dann kann man sagen, dass alle Elemente bzw. Bilder aus W ein Urbild in V haben. Also ist dim(W) [mm] \ge [/mm] dim(V).
zu 3)
F* = W* [mm] \mapsto [/mm] V*. Wobei die Elemente nun Linearformen sind.
zu 4)
Ist F* injektiv, ist dim(V*) = 0 (nach Dimensionformel)
zu 5)
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \gdw x_1 [/mm] = [mm] x_2.
[/mm]
Wenn ich das so betrachte, glaube ich, dass ich die Hin-Richtung beweisen kann, indem ich von der Surjektivität ausgehe. Daraus müsste dann irgendeine Eigenschaft (*) folgen, so dass ich nur noch die Injektivität zeigen muss. Aber genau bei (*) komme ich nicht weiter.
(Geht es eigentlich auch so?
Wenn wir davon ausgehen, dass dim(V) = dim(W) = n ist, dann kann man doch einfach von der "Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität" gebrauch machen, oder? Weil dann hätten auch V* und W* gleich viele Elemente und ich könnte die Aussage analog beweisen.)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du kannst nicht davon ausgehen, dass
dim(V) = dim(W) = n.
Das steht in Deiner Aufgabenstellung nirgends !
Im endlichdimensionalen Fall (dim(V) = dim(W) = n) gibts in der Tat nichts zu beweisen !
Ich muß schon sagen, Du bist ziemlich hartnäckig. Hast Du Dich denn nun schlau gemacht und einmal nachgesehen was F* eigentlich für eine Abb. ist ?
FRED
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Hab inzwischen die 5 Fragen beantwortet...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Dann zeig mir mal die Antworten
FRED
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Die stehen in der letzten überarbeiteten Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Achso, Du meinst die Fragen von Angela !
Dann wollen wir mal......:
zu 2) das ist falsch, Z.B. ist [mm] f:R^2 [/mm] -->R, f(x,y) := x linear und surjetiv, aber dim(R)< [mm] dim(R^2).
[/mm]
zu 3) wie ist denn F* definiert ?
zu 4) das ist völliger Blödsinn !
Noch eine Bemmerkung, auch an andere Forenmitglieder:
Bitte vermeidet das Wort "Hinrichtung", es ist ganz und gar nicht witzig, sondern geschmacklos.
Noch ein Wort aus dem Lehrerjargon: "aufleiten". Das gibt es doch gar nicht.
Warum sagt man nicht "integrieren" oder "Stammfunktion suchen"
FRED
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> Bitte vermeidet das Wort "Hinrichtung", es ist ganz und gar
> nicht witzig, sondern geschmacklos.
Hallo,
da ich es auch nicht so witzig finde, greife ich des öfteren (wie auch in diesem Thread geschehen) zur Hin-Richtung.
Was hast Du denn für Alternativen anzubieten? Was sagst Du, wenn Du die "==>"-Richtung beweist?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angela,
nehmen wir z.B. die obige Aufgabe von Dr. Quagga.
Statt "...- Richtung" könnte man schreiben "die Implikation "aus a) folgt b)" ",
oder "a) --> b)
Das ist etwas umständlicher. dafür aber "sauber".
Gruß FRED
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> Wenn ich das so betrachte, glaube ich, dass ich die
> Hin-Richtung beweisen kann, indem ich von der Surjektivität
> ausgehe. Daraus müsste dann irgendeine Eigenschaft (*)
> folgen, so dass ich nur noch die Injektivität zeigen muss.
> Aber genau bei (*) komme ich nicht weiter.
Hallo,
zu den 5 Fragen hat Dir Fred ja schon etwas gesagt.
Zur Durchführung des Beweises habe ich doch schon in meinem ersten Post
Hinweise gegeben. Wobei "Hinweise" übertrieben ist: ich habe genau gesagt, was Du zeigen mußt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Pietie |
Hi erstmal,
musste die selbe Aufgabe lösen und frage mich einfach ob ich auf dem richtigen Weg bin...
Weiß allerdings nicht ob ich meine Lösung jetzt hier so posten kann, will meinem Komilitonen auch nicht direkt alles vorwegnehmen...
Also: F ist surjektiv heißt nach Def.: jeder Bildpunkt hat einen Ursprungspunkt
über die Linearität kann man nachweisen, dass jeder Bildpunkt GENAU einen Ursprungspunkt hat.
Und ich hab F* jetzt so verstanden dass es praktisch die Rückführung von F ist ( wenn F : V -> W dann ist F* : W -> V) (WENN DAS FALSCH IST BITTE MELDEN SONST VERSTEHE ICH DUALRÄUME WEITERHIN FALSCH)
also wenn y als Bildpunkt von f(x) genau x als Ursprungspunkt hat, dann ist f*(y)= x, wobei hier nach obrigen Aussagen f*(y)=x=f*(y') nur gilt wenn y=y' da ja x genau einem y zugeordnet wird und umgekehrt dann y auch genau einem x zugeordnet werden kann.
Rückrichtung ist nicht weiter schwer wenn das hier richtig ist und a'/b' kann ich auch leicht erklären da F=(F*)*, also das selbe wie oben nur mit einem Sternchen mehr...
Danke schonmal für die Mühe das hier zu Lesen
LG Pietie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Auffassung von F* ist falsch!!!!
Warum schaut Ihr nicht in Euren Unterlagen( Bücher , Skripte etc..) nach , wie F* def. ist. Das müßt Ihr doch irgendwo haben,
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:33 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Pietie |
Danke schonmal
ist relativ einfach, hab die vorlesung verpasst in der der Dualraum erklärt wurde.
Hab hier zwar ein paar Formeln bzgl der Zusammenhänge z.b. des Ranges oder diesem Kroneckersymbol.
Weiß aber dann nicht wie ich das hier einbringen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Dass (F*)*=F ist, ist auch nicht immer richtig
FRED
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> Also: F ist surjektiv heißt nach Def.: jeder Bildpunkt hat
> einen Ursprungspunkt
> über die Linearität kann man nachweisen, dass jeder
> Bildpunkt GENAU einen Ursprungspunkt hat.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie denn das?
Das würde ja bedeuten, daß für lineare Abbildungen stets surjektiv <==> injektiv gilt.
Das stimmt aber i.a. nicht.
> Und ich hab F* jetzt so verstanden dass es praktisch die
> Rückführung von F
Ich dachte eigentlich, daß in diesem Thread schon irgendwo steht, aber ich seh's nicht:
F* ist die zu F duale Abbildung.
Für [mm] F:V\to [/mm] W bildet F* von W* nach V* ab.
Bezugnehmend auf Deine andere Frage in diesem Thread:
wenn Du die Vorlesung versäumt hast oder auch, wenn Du in der Vorlesung warst und nach 15min abgehängt wurdest - ein Zustand, der mir wohlbekannt ist - ist es unabdingbar, den Stoff nachzuholen. Nicht unbedingt bis in alle Einzelheiten, realistisch gesehen reicht dafür die Zeit ja oft nicht, aber die Definitionen und zentralen Sätze solltest Du Dir unbedingt aneignen. Hilfreich könnten Mitschriften v. Kommilitonen sein, und inzwischen wirst Du auch wissen, welches Buch von Aufbau her Deiner Vorlesung etwas ähnlich ist.
Hier im Forum sind wir ja durchaus hilfsbereit, aber irgendwo sind auch Grenzen. Es ist einfach nicht sinnvoll, wenn wir hier die Vorlesung ersetzen - ich könnte das auch nicht.
Also: sieh zu, daß Du herausfindest, was der Dualraum ist und was die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung. (Für diese Aufgabe hier brauchst Du die duale Basis gar nicht.)
Wenn Dir dann in den Definitionen etwas unklar ist, helfe ich Dir gerne.
Wenn die Zutaten bereitstehen, kann man mit dem Backen beginnen.
Gruß v. Angela
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