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Hallo,
wir müssen eine Reihe von Aussagen zeigen, die alle ähnlich sind und sich auf den selben Sachverhalt beziehen.
Ich habe nun eine dieser Aussagen gezeigt und möchte wissen, ob ich dies richtig gezeigt habe. Dann kann ich nämlich die anderen auch auf diese Weise zeigen.
Sei K ein geordneter Körper. Für a, b, c, d in K zeige man folgende Aussagen:
a) Wenn b > a > 0, dann gilt [mm] \bruch{1}{a} [/mm] > [mm] \bruch{1}{b} [/mm] > 0 und [mm] \bruch{b}{a} [/mm] > 1.
Ich möchte das durch einen Widerspruchsbeweis zeigen:
Teil 1: Wäre [mm] \bruch{1}{a} \le \bruch{1}{b} [/mm] dann auch
[mm] \bruch{1 * a * b}{a} \le \bruch{1 * a * b}{b}
[/mm]
b [mm] \le [/mm] a
Was ein Widerspruch ist.
Teil 2: Wäre [mm] \bruch{b}{a} \le [/mm] 1 dann auch
[mm] \bruch{b * a}{a} \le [/mm] a
b [mm] \le [/mm] a
Was ein Widerspruch ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das was du machst ist nicht falsch, aber es ist kein Wiederspruchsbeweis, sondern ein Beweis durch Kontraposition.
Du sollst zeigen aus A folgt B
du zeigst aus [mm] \neg [/mm] B folgt [mm] \neg [/mm] A
also statt aus b>a>0 folgt 1/a>1/b>0
beweisest du aus nicht (1/a>1/b>0 ) folgt nicht (b>a>0)
oder aus 0<1/a<1/b folgt b<a
das ist völlig legal. und hier völlig unötig, weil der direkte Beweis genausoschnell geht.
allerdings hoffe ich, dass du aus der Vorlesung benutzen kannst a>0 folgt 1/a>0 sonst fehlt der Teil.
den vorrausgesetzt:
b>a>0 |* 1/b>0
1>a/b>0 *1/a >0
1/a>1/b>0
aber heftig verwendet hab ich
1. ungleichungen bleiben erhalten bei Mult. mit pos Zahlen,
(aus dem Anordnungsaxiom)
2. aus a>0 folgt 1/a>0
wenn du das nicht woanders her hast ,muss es gezeigt werden!
Gruss leduart
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Hallo,
danke für deinen Hinweis.
In der Vorlesung wurden zwei Ordnungsaxiome bewiesen:
(O1) Für alle x,y,z aus K gilt x+z < y+z falls x < y
(O2) Für alle x, y aus K gilt x * y > 0 falls x, y > 0.
Damit dürfte doch auch 1/x > 0 erlaubt sein - oder?
Zusatz: Ich sehe noch folgende Notiz aus der Vorlesung:
Wenn x > 0 dann [mm] \bruch{1}{x} [/mm] > 0
Meinst du mit direktem Beweis sowas:
Zu zeige: [mm] \bruch{1}{a} [/mm] > [mm] \bruch{1}{b}
[/mm]
Beweis:
[mm] \bruch{1}{a} [/mm] > [mm] \bruch{1}{b}
[/mm]
mit ab multiplizieren
siehe da: b > a
Zweiter Teil: [mm] \bruch{b}{a} [/mm] > 1
Multiplizieren mit a gibt b > a. Aber das reicht ja irgendwie noch nicht.
Kannst du mir noch einen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit dem zweiten Axiom und 1>0 hast du ja 1/a>0 aus a>0 aber das musst du sagen.bzw kurz zeigen!
Den zweiten Teil der Frage versteh ich nicht. den direkten Beweis hab ich doch aufgeschrieben.
direkt heisst: du gehst von der Vors, bzw Anfangsaussage hier b>a>0 aus und landest mit nur richtigen Folgerungen bei der Behauptung!
Du gehst von der Behauptung aus und landest bei der Vors. (Der Unterschied ist hier fast nicht vorhanden weil ja das Inverse zu 1/a wieder a ist.)
Es ist meisten schlechter hinten anzufangen, weil man dann sorgfältiger sein muss!
Ich weiss nicht ob ihr ohne weiteres schliessen dürft. aus
a<b und c>0 folgt a*c<b*c
da gehört auch ein Schritt weiter als nur die 2 Axiome dazu:
irgendwo müsst ihr haben x<y bedeutet 0<y-x oder aus a>0 folgt additives Inverses von a <0.
daraus folgt dann das oben.
Du musst bei so "einfachen" Beweisen wirklich bei jedem Schritt (den du in der Schule aus Gewohnheit automatisch gemacht hast) überlegen durch welches Axiom oder schon bewiesene Gesetz er begründet ist.
Also schreib immer die benutzten Axiome oder bewiesenen Rechenregeln dazu!
also z.Bsp:
1. a<b |*1/a 1/a>0 wie gezeigt, ==> 1/a*a<1/a*b nach Regel2 (man darf Ungl. mit pos Zahlen mult.)
nächster Schritt |*1/b kann man dann sagen wie in 1.
Das macht am Anfang das Beweisen einfacher Dinge schwerer als das von komplizierteren.
Gruss leduart
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Du hast in deiner ersten Antwort sowas geschrieben:
"Du sollst zeigen aus A folgt B
du zeigst aus folgt nicht A"
- fehlt da nicht was?
Dann sagst du:
"also statt aus b>a>0 folgt 1/a>1/b>0
beweisest du aus nicht (1/a>1/b>0 ) folgt nicht (b>a>0)
oder aus 0<1/a<1/b folgt b<a"
Und eine Zeile weiter:
"das ist völlig legal. und hier völlig unötig, weil der direkte Beweis genausoschnell geht." - gut - dann war das eben nicht der direkte Beweis - der kommt dann weiter unten - ich lese weiter...
Ahh - jetzt verstehe ich. mit "|* 1/b>0" meinst du - multipliziere den Term mit 1/b für b > 0.
Dann muss ich nochmal drüberlesen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sorry, ja, da war das Nichtzeichen und B zu nah aneinander und hatten sich vernichtet!
Ist jetzt verbessert.
Sonst ist ja wohl keine Frage.
Ja, mit |... schreib ich kurz auf, was der nächst Schritt ist.
Gruss leduart
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