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| Aufgabe | Ihr müsste nicht zu allem was schreiben!
1) Für alle komplexen Zahlen z gilt: [mm] |\overline{z}|=z
[/mm]
2) Für alle komplexen Zahlen z gilt:
i(Im [mm] z)\in\IR
[/mm]
3) Für alle omplexen Zahlen [mm] z\not=0 [/mm] gilt:
Wenn |z|=dann ist [mm] \bruch{1}{z}=\overline{z} [/mm] und umgekehrt.
4)Aus [mm] z=\overline{z} [/mm] folgt z=0
5) Für alle komplexen Zahlen z gilt:
|iz|=|z|
6)Für alle komplexen Zahlen z gilt
[mm] z^2=|z|^2
[/mm]
7)Für alle komplexen Zahlen z mit Re z=0 gilt
arg z= [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
8)Für alle komplexen Zahlen z gilt
[mm] i(z+\overline{z})\in\IR
[/mm]
9)Für zwei komplexe Zahlen [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] gilt
[mm] z_{1}*\overline{z_{2}}=\overline{z_{1}}*z_{2} [/mm] |
Hallo.
Ich soll zeigen, dass die Antworten falsch oder richtig sind und würde euch bitten drüber zu schauen bzw. Hilfestellungen zu geben.
Ihr sollt nicht alle Aufgaben lösen!
Zu 1)
|z|= [mm] \wurzel{z*\overline{z}}
[/mm]
[mm] |\overline{z}|=\wurzel{z*\overline{z}}
[/mm]
Demnach ist die 1 richtig.
Geometrisch gesehen [mm] ist\overline{z} [/mm] eine Spiegelung von z an der Reelen Achse, daher ist der Betrag von beiden gleich.
2)
Ich bin mir nicht sicher was i(Im z) heißt.
Ist z=a+ib
So ist Re(z)=a und Im(z)=b
Die Gleichung lautet also i(b)=ib ib liegt jedoch nicht in [mm] \IR
[/mm]
Daraus würde ich folgern, dass die Aussage falsch ist.
3)
[mm] |z|=\wurzel{z*\overline{z}}=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
Soll |z|=1 so müsste die Formel dafür folgendermaßen lauten:
Durch Umformungen weiß ich, dass bei [mm] |z|^2=1 [/mm] gelten müsste, dass
[mm] \bruch{1}{z}=z^-1= \overline{z}*\bruch{1}{a^2+b^2} [/mm] sein müsste.
Hier gilt nun aber |z|=1
[mm] |z|=\wurzel{a^2+b^2}=1 [/mm] laut Satz von Pythagoras.
[mm] \wurzel{a^2+b^2}=\wurzel{z*\overline{z}} [/mm] Denn [mm] z*\overline{z}=a^2+b^2 [/mm]
[mm] \wurzel{{z}*\bruch{1+z}}=\wurzel{1}=1 [/mm] Damit würde die Gleichung stimmen.
Aber wie kann dann [mm] a-ib=\bruch{1}{a+ib} [/mm] sein.
Das verwirrt mich.
4)
Soll a+ib=a-ib sein, so muss b=0 sein, sodass z und [mm] \overline{z} [/mm] auf der Reelen Achse liegen.
z muss in diesel Fall aber nicht 0 sein, sondern kann auch 1, 2 ,3 etc. sein.
z=0 ist eine mögliche Lösung, aber die Folgerung, dass z=0 ist, ist falsch.
5)
[mm] iz=i*(a+ib)=ia-b=-b+ia=z_{1}
[/mm]
[mm] |z_{1}|=\wurzel{z_{1}}*\overline{z_{1}}=\wurzel{(-b+ia)*(-b-ia)}=
[/mm]
[mm] \wurzel{b^2+a^2}=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
Die Aussage stimmt.
Denn [mm] |z_{1}|=|z|
[/mm]
6)
[mm] z^2=(a+ib)*(a+ib)=a^2+2ib-b^2
[/mm]
[mm] |z|=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
Die Aussage ist falsch.
7)
Die Aussage stimmt nicht.
Der Realteil fällt weg, also befindet sich z auf der Imaginären Achse und argz kann demnach (je nachdem ob der Imaginärteil negativ oder positiv ist) entweder [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] oder [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] annehmen.
8)
i*(a+ib+a-ib)=i*(2a)=2ia
2ia ist jedoch keine reele Zahl und somit nicht in [mm] \IR.
[/mm]
Bei 2ia könnte mit 2 auch der Imaginärteil gemeint sein, sodass 2 sehr wohl im Reelen liegen könnte.
Jedoch verstehe ich die AUfgabenstellung wie bei 2) nicht.
9)
[mm] z_{1}=a_{1}+ib_{1}
[/mm]
[mm] z_{2}=a_{2}+ib_{2}
[/mm]
[mm] z_{1}*\overline{z_{2}}=a_{1}a_{2}-ia_{1}b_{2}+ia_{2}b_{1}+b_{1}b_{2}
[/mm]
[mm] \overline{z_{1}}*z_{2}=a_{1}a_{2}-ia_{2}b{1}+ia_{1}b_{2}+b_{1}b_{2}
[/mm]
Die Aussage ist also auch falsch.
Danke vielmals.
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Hallo Masseltof,
> Ihr müsste nicht zu allem was schreiben!
>
> 1) Für alle komplexen Zahlen z gilt: [mm]|\overline{z}|=\red{|}z\red{|}[/mm]
>
> 2) Für alle komplexen Zahlen z gilt:
> i(Im [mm]z)\in\IR[/mm]
>
> 3) Für alle omplexen Zahlen [mm]z\not=0[/mm] gilt:
> Wenn |z|=
= was?
> dann ist [mm]\bruch{1}{z}=\overline{z}[/mm] und
> umgekehrt.
>
> 4)Aus [mm]z=\overline{z}[/mm] folgt z=0
>
> 5) Für alle komplexen Zahlen z gilt:
> |iz|=|z|
>
> 6)Für alle komplexen Zahlen z gilt
>
> [mm]z^2=|z|^2[/mm]
>
> 7)Für alle komplexen Zahlen z mit Re z=0 gilt
> arg z= [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> 8)Für alle komplexen Zahlen z gilt
> [mm]i(z+\overline{z})\in\IR[/mm]
>
> 9)Für zwei komplexe Zahlen [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] gilt
>
> [mm]z_{1}*\overline{z_{2}}=\overline{z_{1}}*z_{2}[/mm]
> Hallo.
>
> Ich soll zeigen, dass die Antworten falsch oder richtig
> sind und würde euch bitten drüber zu schauen bzw.
> Hilfestellungen zu geben.
> Ihr sollt nicht alle Aufgaben lösen!
> Zu 1)
>
> |z|= [mm]\wurzel{z*\overline{z}}[/mm]
> [mm]|\overline{z}|=\wurzel{z*\overline{z}}[/mm]
>
> Demnach ist die 1 richtig.
> Geometrisch gesehen [mm]ist\overline{z}[/mm] eine Spiegelung von z
> an der Reellen Achse, daher ist der Betrag von beiden
> gleich. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, alternativ kannst du das direkt einsehen, wenn du [mm]z=x+iy[/mm] setzt und [mm]|z|=|\overline{z}|=\sqrt{x^2+y^2}[/mm] nachrechnest
>
> 2)
>
> Ich bin mir nicht sicher was i(Im z) heißt.
>
> Ist z=a+ib
> So ist Re(z)=a und Im(z)=b
>
> Die Gleichung lautet also i(b)=ib ib liegt jedoch nicht in
> [mm]\IR[/mm]
>
> Daraus würde ich folgern, dass die Aussage falsch ist.
Ja! Gib einfach ein Gegenbsp. an.
>
> 3)
>
> [mm]|z|=\wurzel{z*\overline{z}}=\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
>
> Soll |z|=1 so müsste die Formel dafür folgendermaßen
> lauten:
>
> Durch Umformungen weiß ich, dass bei [mm]|z|^2=1[/mm] gelten
> müsste, dass
>
> [mm]\bruch{1}{z}=z^-1= \overline{z}*\bruch{1}{a^2+b^2}[/mm] sein
> müsste.
>
> Hier gilt nun aber |z|=1
> [mm]|z|=\wurzel{a^2+b^2}=1[/mm] laut Satz von Pythagoras.
> [mm]\wurzel{a^2+b^2}=\wurzel{z*\overline{z}}[/mm] Denn
> [mm]z*\overline{z}=a^2+b^2[/mm]
>
> [mm]\wurzel{{z}*\bruch{1+z}}=\wurzel{1}=1[/mm] Damit würde die
> Gleichung stimmen.
>
> Aber wie kann dann [mm]a-ib=\bruch{1}{a+ib}[/mm] sein.
Es ist [mm]\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\cdot{}\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{\overline{z}}{1^2}=\overline{z}[/mm]
>
> Das verwirrt mich.
>
> 4)
> Soll a+ib=a-ib sein, so muss b=0 sein, sodass z und
> [mm]\overline{z}[/mm] auf der Reelen Achse liegen.
> z muss in diesel Fall aber nicht 0 sein, sondern kann auch
> 1, 2 ,3 etc. sein.
> z=0 ist eine mögliche Lösung, aber die Folgerung, dass
> z=0 ist, ist falsch.
Es folgt aus der Vor.: [mm]z\in\IR[/mm]
>
> 5)
>
> [mm]iz=i*(a+ib)=ia-b=-b+ia=z_{1}[/mm]
>
> [mm]|z_{1}|=\wurzel{z_{1}}*\overline{z_{1}}=\wurzel{(-b+ia)*(-b-ia)}=[/mm]
> [mm]\wurzel{b^2+a^2}=\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
>
> Die Aussage stimmt.
Kürzer: [mm]|i\cdot{}z|=|i|\cdot{}|z|=1\cdot{}|z|=|z|[/mm]
> Denn [mm]|z_{1}|=|z|[/mm]
>
> 6)
> [mm]z^2=(a+ib)*(a+ib)=a^2+2ib-b^2[/mm]
> [mm]|z|=\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
> Die Aussage ist falsch.
Gib dazu ein Gegenbsp. an!
>
> 7)
> Die Aussage stimmt nicht.
> Der Realteil fällt weg, also befindet sich z auf der
> Imaginären Achse und argz kann demnach (je nachdem ob der
> Imaginärteil negativ oder positiv ist) entweder
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] oder [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] annehmen.
[mm]\operatorname{mod}(2\pi)[/mm]
Gegenbsp. angeben ...
>
> 8)
> i*(a+ib+a-ib)=i*(2a)=2ia
>
> 2ia ist jedoch keine reelle Zahl und somit nicht in [mm]\IR.[/mm]
zumindest nicht für alle [mm]z\in\IC[/mm]. Auch hier gib ein Gegenbsp. an!
>
> Bei 2ia könnte mit 2 auch der Imaginärteil gemeint sein,
> sodass 2 sehr wohl im Reelen liegen könnte.
> Jedoch verstehe ich die AUfgabenstellung wie bei 2)
> nicht.
>
> 9)
> [mm]z_{1}=a_{1}+ib_{1}[/mm]
> [mm]z_{2}=a_{2}+ib_{2}[/mm]
>
> [mm]z_{1}*\overline{z_{2}}=a_{1}a_{2}-ia_{1}b_{2}+ia_{2}b_{1}+b_{1}b_{2}[/mm]
>
> [mm]\overline{z_{1}}*z_{2}=a_{1}a_{2}-ia_{2}b{1}+ia_{1}b_{2}+b_{1}b_{2}[/mm]
>
> Die Aussage ist also auch falsch.
Wieder: Gegenbsp. angeben!
>
> Danke vielmals.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke vielmals für die Kontrolle!
Ich konnte alles nachvollziehen und freue mich tierisch, dass das geklappt hat.
Danke!
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Hallo nochmal,
> Hallo und danke vielmals für die Kontrolle!
>
> Ich konnte alles nachvollziehen und freue mich tierisch,
> dass das geklappt hat.
Und das wiederum freut mich!
Sehr gut!
>
> Danke!
Gerne
schachuzipus
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