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| Aufgabe | Man entscheide, ob die folgenden Aussagen falsch oder richtig sind und beweise die gebebene Antwort.
a) Sei f:[-1,1]-> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion. Dann gilt:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{f(cos(x)) dx}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{f(sin(x)) dx}
[/mm]
b) Es seien f:(a,b]-> [mm] \IR [/mm] und g:(a,b]-> [mm] \IR [/mm] zwei Funktionen, für die die uneigentlichen Integrale [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx} [/mm] und [mm] \integral_{a}^{b}{g(x)dx} [/mm] existieren.
Dann existiert auch [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)*g(x) dx } [/mm] |
Hallo,
ich finde leider keinen Ansatz, wie ich diese beiden Aufgaben beweisen könnte. Ich habe mir schon mal ein paar Beispiele überlegt und würde schon mal sagen, dass beide Aussagen korrekt sind.
zu a) hab ich mir erst mal übelegt, man könnte ja cos(x) als [mm] sin(x+\bruch{\pi}{2}) [/mm] schreiben und es dann irgendwie weiter umformen. aber das klappt bei mir nicht. und eine kleine nebenfrage hätte ich da auch: Sind zwei Integrale gleich, wenn sie die gleiche Ableitung haben? aber ich glaube das hilft dann hier auch nicht weiter.
bei b) weiss ich gar nicht, wie man es zeigen könnte.
Hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
Robert
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Zu a): Substituiere auf der linken Seite [mm]\cos{x} = t[/mm], also [mm]x = \arccos{t}[/mm] und auf der rechten Seite [mm]\sin{x} = t[/mm], also [mm]x = \arcsin{t}[/mm].
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