Aussagen über Lösungen der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | | Überführen Sie die DGL [mm] y'' = y^3 [/mm] in eine DGL erster Ordnung. Was können Sie über die Lösungen sagen? |
Hallo,
Also in eine DGL erster Ordnung kann ich die Gleichung überführen indem ich beide Seiten mit y' multipliziere:
[mm] y' = \bruch{1}{4}y^4 + C [/mm]
Aber was kann ich über die Lösungen sagen? Wie kann ich dort irgendetwas ablesen?
Wenn ich die DGL durch Trennung der Variablen weiter löse, erhalte ich (Rechenfehler möglich):
[mm] y = \pm \wurzel[4]{4e^x-D} [/mm]
Danke für eure Hilfe.
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Mi 12.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Überführen Sie die DGL [mm]y'' = y^3[/mm] in eine DGL erster
> Ordnung. Was können Sie über die Lösungen sagen?
> Hallo,
>
> Also in eine DGL erster Ordnung kann ich die Gleichung
> überführen indem ich beide Seiten mit y' multipliziere:
> [mm]y' = \bruch{1}{4}y^4 + C[/mm]
Das stimmt doch nicht ! Wenn Du die letzte Gleichung differenzierst, bekommst Du
[mm] $y''=y^3*y'$
[/mm]
FRED
> Aber was kann ich über die
> Lösungen sagen? Wie kann ich dort irgendetwas ablesen?
> Wenn ich die DGL durch Trennung der Variablen weiter
> löse, erhalte ich (Rechenfehler möglich):
> [mm]y = \pm \wurzel[4]{4e^x-D}[/mm]
>
> Danke für eure Hilfe.
>
> Viele Grüße,
> Katthi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Ahhh Kettenregel.
Ja ich erhalte: [mm] \bruch{y'^2}{2} = \bruch{1}{4}y^4+C [/mm]
Was das ganze dann noch hässlicher macht. Wenn ich das nun nach y' umstelle und dann durch Trennung der Variablen aufleite, dann erhalte ich die Lösung y. Aber was kann ich für Aussagen treffen?
Und wie kann man etwas darüber sagen, was die Lösung im Unendlichen macht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum kannst du nicht z,B das Isoklinenfeld aufzeichnen? oder einfach überlegen wenn etwa y(0)=a a<0,>0,=0 ist y'(0)=0 oder y'(0)=a und y(0)=b wie sehen die lösungen aus?
sollst du wirklich eine Dgl ersten Grades machen oder ein System 1. Ordnung?
(Antwort: je nach Anfangsbed laufen die Lösungen nach + oder - unendlich.
ausser y(0)=y'(0)=0 als Anfangsbed.)
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Do 13.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Ich sollte es in eine DGL 1. Ordnung überführen.
Wie würde ich denn das System herstellen, weil ich ja [mm] y^3 [/mm] habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie immer
y1=y
y2=y'
[mm] \vektor{y1\\y2}'=\vektor{y2\\y1^3}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 13.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo,
ja aber damit kann ich ja nichts weiter dann anfangen bzgl Eigenwerte etc. weil ich ja das ^3 nicht loswerde.
Nur umschreiben geht natürlich ;) Aber weiter damit rechnen kann ich doch nicht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
damit hast du recht, aber ein Phasenporträt skizzieren und damit auf die Lösung deines Problems kommen.
aber wie gesagt, auch ein Isoklinenfeld sagt dir, wie die Lösungen laufen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 13.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Für das Isoklinenfeld gehe ich doch immer so vor:
[mm] [mm] \bruch{y_2}{y_1} [/mm] = C [mm] und dann forme ich das nach [mm]y_2 [/mm] um?! Dann sehe ich ob es Geraden sind, Parablen o.ä. ?!
Das C kann ich nur duch Anfangswerte bestimmen. Nehmen wir an, ich hätte [mm] y_2 = y_1 [/mm] Dann kann ich darüber sagen, dass meine Lösungen im Unendlichen z.b. nach + Unendlich laufen, oder?
Nee das ist Quatsch. Die Isokline sind ja nicht meine Lösungskurven. Obwohl die Richtungen dann ja trotzdem stimmen müssten, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du benutzt die Dgl
[mm] \bruch{y'^2}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}y^4+C [/mm] bzw
[mm] y'=\sqrt{\bruch{1}{4}y^4+C }
[/mm]
jetzt im xy KOOs
an jeder Stelle die Steigung [mm] \sqrt{\bruch{1}{4}y^4+C } [/mm] eintragen. für y':>0 am Anfang hast du lauter positive Steigungen, also geht die Kurve nach oben, x wird größer damit auch die Steigung usw.als gehen alle Kurven nach [mm] +\infty
[/mm]
für y'<0 am anfang hat man die neg, Wurzel also lauter neg. Steigungen, also gegen [mm] -\infty
[/mm]
das kannst du aber auch der Dgl direkt ansehen, ohne Zeichnung.
Gruss leduart
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 13.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Genau und wenn ich C=0 habe, dann wären meine Kurven alles Parablen.
Alos nochmal zur Zusammenfassung:
Die Isokline sind hier von der Form [mm] y'=D y^3 [/mm]
Und das Phasenportrait erhalte ich, wenn ich für y und y' Punkte einsetze und durch mein System erhalte ich die Steigung in diesen Punkten und dann da hübsch die kleinen Pfeile eintrage.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du dich vertippt. ? hier 2 Bilder , C=0 und C=4 mit je 2 oder 3 Lösunggskurven für [mm] y'=\wurzel{y^4+C}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
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[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 13.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Inwiefern vertippt?
Wieso hast du jetzt [mm] y'= \wurzel{y^2+C} [/mm] ? Hatten doch vorher [mm] y' = \wurzel{\bruch{1}{4}y^4+C} [/mm] ...
oooh man ich seh es einfach nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
diesmal habe ich mich vertippt, die Bildchen sind aber für [mm] y'=\wurzel{x^4/4+C}
[/mm]
du hattest [mm] y'=D*y^3 [/mm] woher die hoch 3.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:22 Do 13.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Weil für die Isokline doch gilt: [mm] \bruch{y^3}{y'}=C[/mm] ?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 15.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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