Aussagenlogik < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mi 09.07.2014 | | Autor: | LPark |
| Aufgabe | | Beweisen Sie ohne Verwendung einer Wertetabelle, dass die Formeln F und G jeweils äquivalent sind: |
F : [mm] \neg [/mm] (p [mm] \gdw [/mm] q)
G : [mm] \neg [/mm] p [mm] \gdw [/mm] q
Also, nach Umformen habe ich da stehen:
[mm] \neg [/mm] ((p [mm] \Rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] (q [mm] \Rightarrow [/mm] p))
[mm] \neg (((\neg [/mm] p) [mm] \vee [/mm] q) [mm] \wedge ((\neg [/mm] q) [mm] \vee [/mm] p)))
Und hier habe ich ein Problem mit den Klammern und der Negation.
Was wird hier alles "umgedreht". Nur das UND in der Mitte oder alles?
Wenn ich G umforme, sieht das so aus:
[mm] \neg [/mm] (p [mm] \rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] (q [mm] \rightarrow [/mm] p)
(p [mm] \wedge [/mm] q) [mm] \wedge (\neg [/mm] q [mm] \vee [/mm] p)
Wie mache ich jetzt weiter?
Grüße,
LPark
|
|
| |
|
Hallo,
> Beweisen Sie ohne Verwendung einer Wertetabelle, dass die
> Formeln F und G jeweils äquivalent sind:
>
>
> F : [mm]\neg[/mm] (p [mm]\gdw[/mm] q)
> G : [mm]\neg[/mm] p [mm]\gdw[/mm] q
>
> Also, nach Umformen habe ich da stehen:
>
> [mm]\neg[/mm] ((p [mm]\Rightarrow[/mm] q) [mm]\wedge[/mm] (q [mm]\Rightarrow[/mm] p))
> [mm]\neg (((\neg[/mm] p) [mm]\vee[/mm] q) [mm]\wedge ((\neg[/mm] q) [mm]\vee[/mm] p))) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und hier habe ich ein Problem mit den Klammern und der
> Negation.
> Was wird hier alles "umgedreht". Nur das UND in der Mitte
> oder alles?
Nur das UND, dabei werden die Disjunktionen in den Klammern negiert (De Morgan), also
[mm]\neg[\neg p\vee q] \ \vee \ \neg[\neg q\vee p][/mm]
>
> Wenn ich G umforme, sieht das so aus:
>
> [mm]\neg[/mm] (p [mm]\rightarrow[/mm] q) [mm]\wedge[/mm] (q [mm]\rightarrow[/mm] p)
Wie kommt das zustande? Oben bei der Formel G steht doch das [mm]\neg[/mm] beim p, also
[mm]\neg p\gdw q \ \equiv \ (\neg p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow \neg p)[/mm]
> (p [mm]\wedge[/mm] q) [mm]\wedge (\neg[/mm] q [mm]\vee[/mm] p)
> Wie mache ich jetzt weiter?
>
> Grüße,
> LPark
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Do 10.07.2014 | | Autor: | LPark |
Wenn sich bei F nur das "UND" in der Mitte umdreht, warum hast du dann noch Folgendes stehen gelassen:
[mm] \neg[\neg p\vee [/mm] q] [mm] \vee \neg[\neg q\vee [/mm] p]
Dann würde die Negation doch auch noch Auswirkungen auf den Inhalt der anderen klammern haben und nicht nur auf das "und" in der Mitte?
Zu G:
Ich dachte, das p [mm] \gdw [/mm] würde allein für die Umformung p [mm] \rightarrow [/mm] q stehen.
Da muss ich wohl noch was überdenken~~
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Wenn sich bei F nur das "UND" in der Mitte umdreht, warum
> hast du dann noch Folgendes stehen gelassen:
>
> [mm]\neg[\neg p\vee[/mm] q] [mm]\vee \neg[\neg q\vee[/mm] p]
>
> Dann würde die Negation doch auch noch Auswirkungen auf
> den Inhalt der anderen klammern haben und nicht nur auf das
> "und" in der Mitte?
Na, der Term vorher ist von der Form [mm] $\neg [/mm] \ [mm] (A\wedge [/mm] B)$
Und das ist nach de Morgan [mm] $\neg [/mm] A \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] \neg [/mm] B$
Wobei hier $A$ der Term [mm] $\neg p\vee [/mm] q$ ist und $B$ der Term [mm] $\neg q\vee [/mm] p$
Wenn du nun zB. die Klammern weiter auflöst, kannst du auf die Klammern wieder de Morgan loslassen.
>
> Zu G:
>
> Ich dachte, das p [mm]\gdw[/mm] würde allein für die Umformung p
> [mm]\rightarrow[/mm] q stehen.
> Da muss ich wohl noch was überdenken~~
Ok, du kannst dir ja für dich ganz schnell mal anhand einer WWT klarmachen, dass $G: [mm] \neg [/mm] p \ \ gdw \ q$ lauten sollte (sich die Negation also nur auf das p bezieht), wenn F und G äauivalent sein sollen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 10.07.2014 | | Autor: | LPark |
Also wird aus dem [mm] \neg[\neg p\vee [/mm] q] [mm] \vee \neg[\neg q\vee [/mm] p]
noch ein ( p [mm] \wedge [/mm] q) [mm] \vee [/mm] (q [mm] \wedge [/mm] p) ?
Folglich hätte die Negation Wirkung auf den Inhalt aller Klammern und nicht nur auf den der Äußersten?
Das war meine Frage. :)
Danke.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Also wird aus dem [mm]\neg[\neg p\vee[/mm] q] [mm]\vee \neg[\neg q\vee[/mm] p]
>
> noch ein ( p [mm]\wedge[/mm] q) [mm]\vee[/mm] (q [mm]\wedge[/mm] p) ?
Nein, [mm](p\wedge \neg q) \ \vee \ (q\wedge \neg p)[/mm]
> Folglich hätte die Negation Wirkung auf den Inhalt aller
> Klammern und nicht nur auf den der Äußersten?
Direkt auf die äüßerste, dann beim weitern Auflösen auf die inneren
>
> Das war meine Frage. :)
>
> Danke.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 10.07.2014 | | Autor: | LPark |
stimmt, da habe ich wohl die Negationen vergessen. :)
Dankeschön!
|
|
|
|
