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Forum "Aussagenlogik" - Aussagenlogik
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Aussagenlogik: Beweisen durch Umformen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Mi 09.07.2014
Autor: LPark

Aufgabe
Beweisen Sie ohne Verwendung einer Wertetabelle, dass die Formeln F und G jeweils äquivalent sind:



F : [mm] \neg [/mm] (p [mm] \gdw [/mm] q)
G :  [mm] \neg [/mm] p [mm] \gdw [/mm] q

Also, nach Umformen habe ich da stehen:

[mm] \neg [/mm] ((p [mm] \Rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] (q [mm] \Rightarrow [/mm] p))
[mm] \neg (((\neg [/mm] p) [mm] \vee [/mm] q) [mm] \wedge ((\neg [/mm] q) [mm] \vee [/mm] p)))
  
Und hier habe ich ein Problem mit den Klammern und der Negation.
Was wird hier alles "umgedreht". Nur das UND in der Mitte oder alles?

Wenn ich G umforme, sieht das so aus:

[mm] \neg [/mm] (p [mm] \rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] (q [mm] \rightarrow [/mm] p)
(p [mm] \wedge [/mm] q) [mm] \wedge (\neg [/mm] q [mm] \vee [/mm] p)
Wie mache ich jetzt weiter?

Grüße,
LPark

        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Mi 09.07.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,
> Beweisen Sie ohne Verwendung einer Wertetabelle, dass die
> Formeln F und G jeweils äquivalent sind:

>
>

> F : [mm]\neg[/mm] (p [mm]\gdw[/mm] q)
> G : [mm]\neg[/mm] p [mm]\gdw[/mm] q

>

> Also, nach Umformen habe ich da stehen:

>

> [mm]\neg[/mm] ((p [mm]\Rightarrow[/mm] q) [mm]\wedge[/mm] (q [mm]\Rightarrow[/mm] p))
> [mm]\neg (((\neg[/mm] p) [mm]\vee[/mm] q) [mm]\wedge ((\neg[/mm] q) [mm]\vee[/mm] p))) [ok]

>

> Und hier habe ich ein Problem mit den Klammern und der
> Negation.
> Was wird hier alles "umgedreht". Nur das UND in der Mitte
> oder alles?

Nur das UND, dabei werden die Disjunktionen in den Klammern negiert (De Morgan), also

[mm]\neg[\neg p\vee q] \ \vee \ \neg[\neg q\vee p][/mm]

>

> Wenn ich G umforme, sieht das so aus:

>

> [mm]\neg[/mm] (p [mm]\rightarrow[/mm] q) [mm]\wedge[/mm] (q [mm]\rightarrow[/mm] p)

Wie kommt das zustande? Oben bei der Formel G steht doch das [mm]\neg[/mm] beim p, also

[mm]\neg p\gdw q \ \equiv \ (\neg p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow \neg p)[/mm]

> (p [mm]\wedge[/mm] q) [mm]\wedge (\neg[/mm] q [mm]\vee[/mm] p)
> Wie mache ich jetzt weiter?

>

> Grüße,
> LPark

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Aussagenlogik: Also
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Do 10.07.2014
Autor: LPark

Wenn sich bei F nur das "UND" in der Mitte umdreht, warum hast du dann noch Folgendes stehen gelassen:

[mm] \neg[\neg p\vee [/mm] q] [mm] \vee \neg[\neg q\vee [/mm] p]

Dann würde die Negation doch auch noch Auswirkungen auf den Inhalt der anderen klammern haben und nicht nur auf das "und" in der Mitte?

Zu G:

Ich dachte, das p [mm] \gdw [/mm] würde allein für die Umformung p [mm] \rightarrow [/mm] q  stehen.
Da muss ich wohl noch was überdenken~~

Bezug
                        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Do 10.07.2014
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Wenn sich bei F nur das "UND" in der Mitte umdreht, warum
> hast du dann noch Folgendes stehen gelassen:

>

> [mm]\neg[\neg p\vee[/mm] q] [mm]\vee \neg[\neg q\vee[/mm] p]

>

> Dann würde die Negation doch auch noch Auswirkungen auf
> den Inhalt der anderen klammern haben und nicht nur auf das
> "und" in der Mitte?

Na, der Term vorher ist von der Form [mm] $\neg [/mm] \ [mm] (A\wedge [/mm] B)$

Und das ist nach de Morgan [mm] $\neg [/mm] A \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] \neg [/mm] B$

Wobei hier $A$ der Term [mm] $\neg p\vee [/mm] q$ ist und $B$ der Term [mm] $\neg q\vee [/mm] p$

Wenn du nun zB. die Klammern weiter auflöst, kannst du auf die Klammern wieder de Morgan loslassen.

>

> Zu G:

>

> Ich dachte, das p [mm]\gdw[/mm] würde allein für die Umformung p
> [mm]\rightarrow[/mm] q stehen.
> Da muss ich wohl noch was überdenken~~

Ok, du kannst dir ja für dich ganz schnell mal anhand einer WWT klarmachen, dass $G: [mm] \neg [/mm] p \ \ gdw \ q$ lauten sollte (sich die Negation also nur auf das p bezieht), wenn F und G äauivalent sein sollen ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Aussagenlogik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Do 10.07.2014
Autor: LPark

Also wird aus dem  [mm] \neg[\neg p\vee [/mm]  q]  [mm] \vee \neg[\neg q\vee [/mm]  p]

noch ein ( p [mm] \wedge [/mm] q) [mm] \vee [/mm] (q [mm] \wedge [/mm] p) ?
Folglich hätte die Negation Wirkung auf den Inhalt aller Klammern und nicht nur auf den der Äußersten?

Das war meine Frage. :)

Danke.

Bezug
                                        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Do 10.07.2014
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Also wird aus dem [mm]\neg[\neg p\vee[/mm] q] [mm]\vee \neg[\neg q\vee[/mm] p]

>

> noch ein ( p [mm]\wedge[/mm] q) [mm]\vee[/mm] (q [mm]\wedge[/mm] p) ?

Nein, [mm](p\wedge \neg q) \ \vee \ (q\wedge \neg p)[/mm]

> Folglich hätte die Negation Wirkung auf den Inhalt aller
> Klammern und nicht nur auf den der Äußersten?

Direkt auf die äüßerste, dann beim weitern Auflösen auf die inneren

>

> Das war meine Frage. :)

>

> Danke.

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Aussagenlogik: Ups
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Do 10.07.2014
Autor: LPark

stimmt, da habe ich wohl die Negationen vergessen. :)
Dankeschön!

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