Ausschöpfung-Funktionenfolgen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Geben Sie eine Ausschöpfung von H:={z [mm] \in \IC [/mm] | Im z > 0} durch kompakte Teilmengen an. |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie:
[mm] K_{\alpha}:= \{z \in \IC | |z-i| \le 1- \bruch{1}{\alpha}\}, \alpha=1,2,...
[/mm]
definiert eine Ausschöpfung von
[mm] \Delta_{1}(i)=\{z \in \IC | |z-i| < 1\}. [/mm] |
| Aufgabe 3 | Welche der folgenden Folgen [mm] f_{n}: \Delta_{1}(i) \to \IC [/mm] konvergieren kompakt auf [mm] \Delta_{1}(i) [/mm] (mit Beweis?)
i) [mm] f_{n}(z)=(z-i)^{n}
[/mm]
ii) [mm] f_{n}(z)=(\bruch{z-i}{2})^{n}
[/mm]
iii) [mm] f_{n}(z)=(\bruch{z}{2})^{n}
[/mm]
iv) [mm] f_{n}(z)=(\bruch{z}{4})^{n} [/mm] |
Guten Abend,
ich habe wieder die Ehre euch mit schönen Aufgaben zur komplexen Analysis zu belästigen :).
Leider ist die Topologie ein Gebiet in der Analysis, in dem ich mich eher unwohl fühle.
Aufgabe 1
Aus der Vorlesung: Eine kompakte Ausschöpfung U ist durch kompakte Teilmengen [mm] K_{\alpha} [/mm] von U mit [mm] U=\bigcup_{\alpha=1}^{\infty} K_{\alpha} [/mm] und [mm] K_{\alpha} \subset K^\circ_{\alpha+1} [/mm] gegeben.
Kompakte Teilmengen wurden als abgeschlossene und beschränkte Mengen gekennzecihnet.
D.h. ich muss kompakte Teilmengen von H finden mit [mm] H=\bigcup_{\alpha=1}^{\infty} K_{\alpha} [/mm] und [mm] K_{\alpha} \subset K{^\circ}_{\alpha+1}
[/mm]
D.h. ich muss irgendwie Vereinigungen finden die zu H "konvergieren" und die die zweite BEdingung erfüülen. Hat jemand eine Idee wie ich am besten vorgehe, irgendwie probiere ich ein paar Beispiele aber scheiter mit dem zweiten Teil der Definition.
Aufgabe 2
[mm] K_{\alpha} [/mm] "konvergiert" offensichtlich zu [mm] \Delta_{1}(i). [/mm] Wenn ich die alphas einsetze, so ist [mm] K_{1}\subsetK_{2}\subsetK_{3}...
[/mm]
nur frage ich mich, wie ich das formal beweise, da fehlt mir der Ansatz.
Aufgabe 3
Sätze aus der Vorlesung: Eine Folge [mm] f_{n}: U\to\IR^{m} [/mm] konvergiert kompakt gegen [mm] f_{0}: U\to\IR^{m}, [/mm] wenn für jedes Kompaktum K [mm] \subset [/mm] U die Folge [mm] f_{n}|K [/mm] gleichmäßig gegen [mm] f_{0}|K [/mm] konvergiert.
Es sei U [mm] \subset \IR^{\alpha} [/mm] offen. Genau dann konvergiert [mm] f_{n}: U\to\IR^{m} [/mm] kompakt gegen [mm] f_{0}, [/mm] fall [mm] f_{n} [/mm] lokal gleichmäßig gegen [mm] f_{0} [/mm] konvergiert.
Es gilt weiter: Es seien [mm] K_{\alpha} \subset [/mm] U kompakt und es gelte [mm] U=\bigcup_{\alpha=1}^{\infty} K_{\alpha} [/mm] und [mm] K_{\alpha} \subset K^\circ_{\alpha+1} \forall \alpha. [/mm] Dann ist [mm] f_{n} [/mm] genau dann kompakt konvergent, wenn [mm] f_{n}|K_{\alpha} [/mm] für jedes [mm] \alpha [/mm] konvergiert.
Meine Frage, muss ich die Sätze anwenden? Soll ich ein [mm] f_{0} [/mm] finden? Bzw. was heißt konvergiert kompakt auf [mm] \Delta_{1}(i)? [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 09:15 Fr 22.04.2011 | | Autor: | wauwau |
probier mal $ [mm] H_\alpha:=\{z \in \IC | Im z \ge \frac{1}{\alpha}\}$ [/mm]
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:57 Di 26.04.2011 | | Autor: | SEcki |
> probier mal [mm]H_\alpha:=\{z \in \IC | Im z \ge \frac{1}{\alpha}\}[/mm]
Die sind nicht kompakt.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Fr 22.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu 2)
Zeige doch einfach: $ [mm] \Delta_1(i)=\bigcup_{\alpha=1}^{\infty} K_{\alpha} [/mm] $ und $ [mm] K_{\alpha} \subset K^\circ_{\alpha+1} [/mm] $
Das ist kein Hexenwerk.
Zu 3) Ich zeig Dir mal (i)
Für z [mm] \in \Delta_1(i) [/mm] ist |z-i|<1, also [mm] $|f_n(z)=|z-i|^n \to [/mm] 0$ (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Dmit ist [mm] f_0 [/mm] die Nullfunktion.
Sei K [mm] \subset \Delta_1(i) [/mm] kompakt. Dann ex. ein c [mm] \in [/mm] (0,1) mit |z-i| [mm] \le [/mm] c für jedes z [mm] \in [/mm] K
Für z [mm] \in [/mm] K ist dann
[mm] |f_n(z)| \le c^n
[/mm]
Damit konv. [mm] (f_n) [/mm] auf K glm.
FRED
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Ich danke euch beiden für die Antworten. Aufgabe 1 hat sich damit erledigt :). Aufgabe 3 habe ich noch nicht weiter probiert, finde aber dein Beispiel sehr hilfreich Fred, danke!
Zu Aufgabe 2 habe ich aber noch eine Nachfrage.
$ [mm] \Delta_1(i)=\bigcup_{\alpha=1}^{\infty} K_{\alpha} [/mm] $ und $ [mm] K_{\alpha} \subset K^\circ_{\alpha+1} [/mm] $
Ich würde gerne zuerst das Zweite zeigen, damit ich aus dem Zweiten das Erste schlussfolgern kann.
Das Zweite wollte ich mit Induktion machen, wäre das der richtige Ansatz?
Dann hätte ich: IA: [mm] \alpha=1 \Rightarrow K_{1}=\{z \in \IC| |z-i|\le0 \}\subset \{z \in \IC| |z-i|\le\bruch{1}{2} \}=K_{2}. [/mm] IA also erfüllt.
zz.: [mm] K_{\alpha+1} \subset K_{\alpha+2}
[/mm]
[mm] K_{\alpha+1}=\{z \in \IC| |z-i|\le1-\bruch{1}{\alpha+1} \}=...
[/mm]
Nur jetzt komme ich nicht weiter beim Auseinanderbröseln, ich möchte dass als Vereinigung schreiben, so dass ich die IV benutzen kann, aber wie?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Di 26.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich danke euch beiden für die Antworten. Aufgabe 1 hat sich damit erledigt :). Aufgabe 3 habe ich noch nicht weiter probiert, finde aber dein Beispiel sehr hilfreich Fred, danke!
Zu Aufgabe 2 habe ich aber noch eine Nachfrage.
$ [mm] \Delta_1(i)=\bigcup_{\alpha=1}^{\infty} K_{\alpha} [/mm] $ und $ [mm] K_{\alpha} \subset K^\circ_{\alpha+1} [/mm] $
Ich würde gerne zuerst das Zweite zeigen, damit ich aus dem Zweiten das Erste schlussfolgern kann.
Das Zweite wollte ich mit Induktion machen, wäre das der richtige Ansatz?
Dann hätte ich: IA: [mm] \alpha=1 \Rightarrow K_{1}=\{z \in \IC| |z-i|\le0 \}\subset \{z \in \IC| |z-i|\le\bruch{1}{2} \}=K_{2}. [/mm] IA also erfüllt.
zz.: [mm] K_{\alpha+1} \subset K_{\alpha+2}
[/mm]
[mm] K_{\alpha+1}=\{z \in \IC| |z-i|\le1-\bruch{1}{\alpha+1} \}=...
[/mm]
Nur jetzt komme ich nicht weiter beim Auseinanderbröseln, ich möchte dass als Vereinigung schreiben, so dass ich die IV benutzen kann, aber wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Man o mann, dafür brauchst Du doch keine Induktion.
Du mußt doch zeigen: aus
$|z-i| \le 1-\bruch{1}{\alpha}$ folgt $|z-i| < 1-\bruch{1}{\alpha+1}$
Das ist aber fast trivial, denn $1-\bruch{1}{\alpha}< 1-\bruch{1}{\alpha+1$ , und das folgt sofort aus
$ \alpha+1> \alpha$
FRED
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Ja das war mein Problem, es war mir zu trivial und daher war ich wohl zu doof dafür. Sorry dafür und danke für die Antwort :).
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