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Hallo,
ich benötige Hilfe zu einer Aufgabe aus dem Auswahlwettbewerb von 1991.
Die Aufgabe ist die folgende:
Kann das Ergebnis von
1/n + 1/(n+1) + ..... + 1/(n+m) mit n,m>=1 und n,m ist Element der ganzen Zahlen
eine natürliche Zahl sein.
Meine Vermutung ist Nein es geht nicht, aber ich hab wirklich keine Idee wie ich das beweisen sollte.
Lg, David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hast du denn probiert?
wir sehen immer gern, wen man erst mal selbst anfängt.
wie kommst du auf deine Vermutung, wie hast du experimentiert?
Gruss leduart
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Naja ich hab gedacht ich könnte iwie zeigen dass die Summe immer in der Form p/q mit kq<p<(k+1)q zu schreiben ist...
ich hab dann einen induktionsschluss versucht, aber das hat nich so wirklich geklappt...
naja das is ja ne zahlentheoretische aufgabe und die erfahrung sagt mir dass die antwort meistens nein ist xD
Lg, David
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Hat jemand vielleicht eine Idee zu der Aufgabe?
MfG, David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mi 17.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich benötige Hilfe zu einer Aufgabe aus dem
> Auswahlwettbewerb von 1991.
> Die Aufgabe ist die folgende:
>
> Kann das Ergebnis von
>
> 1/n + 1/(n+1) + ..... + 1/(n+m) mit n,m>=1 und n,m ist
> Element der ganzen Zahlen
>
> eine natürliche Zahl sein.
>
> Meine Vermutung ist Nein es geht nicht, aber ich hab
> wirklich keine Idee wie ich das beweisen sollte.
>
> Lg, David
Hallo,
angenommen, es gäbe eine nat. Zahl q mit
1/n + 1/(n+1) + ..... + 1/(n+m) =k.
Beidseitige Multiplikation mit allen Nennern führt auf
(n+1)(n+2)...(n+m)+n(n+2)(n+3)...)n+m+.......+n(n+1)(n+2)...(n+m-1)=q*n(n+1)...(n+m).
Sei nun p der größte in irgendeiner der Zahlen n bis n+m auftretende Primfaktor.
p kann auf der rechten Seite ausgeklammert werden.
Falls p nur genau einmal vorhanden ist, kann p auch aus allen Summanden der linken Seite ausgeklammert werden, außer in dem Summanden, in dem der eine Faktor mit dieser Primzahl fehlt.
Somit wäre die rechte Seite der Gleichung durch p teilbar, die linke aber nicht.
Jetzt musst du noch den Fall betrachten, dass p in mehreren Zahlen vorkommt.
Gruß Abakus
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Ich glaube ich brauche einen weiteren Tipp..
Ich hab mal probiert, wenn p in den faktoren genau zweimal vorkommt.
Also angenommen dem sei so...
Dann ist die rechte Seite offenbar durch p² teilbar, auf der linken Seite gibt es nur durch p² teilbare Produkte außer die beiden in denen die faktoren, in denen p eben vorkommt, fehlen.
Diese beiden Summanden sind dementsprechend nur durch p teilbar...
Und jetzt häng ich dabei, zu zeigen warum die Summe nicht durch p² teilbar sein soll...
MfG, David
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