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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
in einer Aufgabestellung aus einem Buch steht, man solle den Automorphismus von [mm] \{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\} [/mm] bestimmen. Als Lösung gaben die unter anderem an, dass die Automorphismusgruppe von V={e,a,b,c} isomorph zu [mm] S_3 [/mm] ist.
Verstehe ich richtig, dass damit gemeint ist a= (12)(34), b = (13)(24), c = (14)(23)? Denn dann wäre ein Automorphismus z.B
[mm] \pmat{ e & a&b&c \\ e&b&c&a }. [/mm] Geht das denn, dass Zyklen in der Permutaionsmatrix stehen?
Viele Grüße
Joan
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> Hallo,
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> in einer Aufgabestellung aus einem Buch steht, man solle
> den Automorphismus von (G:=)[mm]\{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}[/mm]
> bestimmen. Als Lösung gaben die unter anderem an, dass die
> Automorphismusgruppe von V={e,a,b,c} isomorph zu [mm]S_3[/mm] ist.
>
> Verstehe ich richtig, dass damit gemeint ist a= (12)(34), b
> = (13)(24), c = (14)(23)?
Hallo,
wenn die Menge [mm] $\{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ [/mm] den Namen V trägt, ist das so gemeint.
Ich vermute aber sehr, daß zunächst festgestellt wurde, daß [mm] $\{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ [/mm] isomorph ist zur Kleinschen Vierergruppe V.
> Denn dann wäre ein
> Automorphismus z.B
> [mm]\pmat{ e & a&b&c \\
e&b&c&a }.[/mm] Geht das denn, dass Zyklen
> in der Permutaionsmatrix stehen?
[mm] S_3 [/mm] besteht nicht aus Permutationsmatrizen, sondern aus Permutationen von drei Elementen.
Die Permutationsmatrizen sind nur eine übersichtliche Schreibweise für die Permutationen.
Die da oben, welche aber [mm] S_4 [/mm] entstammt, bedeutet doch
[mm] p:\{e,a,b,c\}\to \{e,a,b,c\}
[/mm]
p(e):=e, p(a):=b, p(b):=c, p(c):=a.
Wie man das aufschreibt, ob wie ich soeben, als Permutationsmatrix, als Zykel oder noch anders, ist im Grunde egal. Permutation bleibt Permutation, daran ändert die Schreibweise nichts.
Ein jeder Automorphismus von G ist natürlich eine Permutation der 4 Elemente wegen der geforderten Bijektivität, und Du mußt nun überlegen, welche Permutationen der 4 Elemente Automorphismen von G sind, und wieso diese Teilmenge der Permutationen von 4 Elementen isomorph ist zu [mm] S_3.
[/mm]
Hilfreich ist es dafür sicher, sich die Isomorphi zu V bewußt zu machen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Joan2 |
Vielen Danke für die gute Erklärung :)
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