Automorphismus beweisen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Do 13.01.2005 | | Autor: | jakob |
HALLO,
ich habe hier eine Aufgabe versucht zu lösen, aber ich komme nicht weiter. Sie lautet:
Sei K ein Körper und seien V und W isomorphe K-Vektorräume.
Ich soll zeigen, dass
Aut(V) = { g [mm] \circ [/mm] f | f: V [mm] \to [/mm] W isomorph, g: W [mm] \to [/mm] V isomorph } gilt.
Aut(V) bedeutet doch, dass V=W und f und bijektiv sein muss, oder???
Ich weiß nicht genau,was ich hier zeigen soll. Deshalb habe ich mir überlegt, dass man zeigen soll, dass h= g [mm] \circ [/mm] f isomorph sind, also linear und bijektiv ist. Ist das die richtige Vorgehensweise?
Die Injektivität habe ich so gezeigt:
Weil ja der Aut(V) bzgl. der Komposition eine Gruppe ist, habe ich g= [mm] f^{-1} [/mm] gesetzt, d.h. sei h(x) = h(y)
g(x) [mm] \circ [/mm] f(x) = g(y) [mm] \circ [/mm] g(y)
[mm] f^{-1}(x) [/mm] circ f(x) = [mm] f^{-1}(y) \circ [/mm] f(y)
[mm] \Rightarrow [/mm] x = y.
Stimmt das so?
Bei der Surjektivität komme ich nicht weiter, ich weiß nur, dass das hier gilt:
h(x) = g(f(x)) = g [mm] \circ [/mm] f(x)
Ich suche das passende x mit h(x) = y, aber ich finde keins. Kann mir jemand weiter helfen?
Dann habe ich die Linearität von h gezeigt. Aus der Bijektivität und der Linearität von h habe ich gefolgert, dass h isomorph ist. Kann man aus der Isomorphie von h auch daraus den Automorphismus von V schließen. Es gilt doch als äquivalent : f ist Monomorphismus, f ist Epimorphismus, f ist Automophismus.
Ich danke für die Hilfe.
Mfg, Jakob
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:44 Do 13.01.2005 | | Autor: | jakob |
Hallo,
meine Aufgabe besteht aus 2 Teilaufgaben, ich habe versucht die b) selber zu lösen, komme aber auch hier nicht so recht weiter. K ist wieder ein Körper und V, W sind K-Vektorräume. Weiter sei f: V [mm] \to [/mm] W linear. Ich soll zeigen, dass ein Vektorraum U und lineare Abbildungen g: V [mm] \to [/mm] U, h: U [mm] \to [/mm] W existieren mit : (i) g ist surjektiv, (ii) h ist injektiv, (iii) f = h [mm] \circ [/mm] g.
Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Muss ich hier die Vektorraumaxiome nachweisen?
Danke,
mfg Jakob.
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 13:53 Sa 15.01.2005 | | Autor: | jakob |
Hallo,
muss man bei dier Teilaufgabe b) ein Vektorraum konkret angebn oder nur die Vektorraumaxiome nachweisen?
Ich weiß, dass die Vektorraumaxiome so lauten:
(V,+) ist eine abelsche Gruppe
a(x+y) = ax + ay
(a+b)x = ax + bx
a(bx) = (ab)x
1x = x
Es handelt sich doch bei g und h um eine Komposition f = hg.
Was soll ich genau mit den Bemerkungen (i)-(iii) machen? Ich weiß nicht genau, wie ich sie einbauen soll in den Beweis.
(i) Wenn g surjektiv ist, dann gibt es doch ein y in U mit g( [mm] g^{-1}(y)) [/mm] = x mit x in V oder?
(ii) Wenn h injektiv ist, ist doch h(g(y))=h(z) mit z in U, sodass dann g(y)=z ist oder?
Muss man den Beweis mit dem Kern ker g oder ker h machen?
Ich versteh nicht, wie ich den Beweis in Zusammenhang bringen soll.
Mfg,
Jakob.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo.
> Sei K ein Körper und seien V und W isomorphe
> K-Vektorräume.
> Ich soll zeigen, dass
>
> Aut(V) = {g [mm]\circ[/mm] f | f: V [mm]\to[/mm] W isomorph, g: W [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V
> isomorph } gilt.
>
> Aut(V) bedeutet doch, dass V=W und f und bijektiv sein
> muss, oder???
>
> Ich weiß nicht genau,was ich hier zeigen soll. Deshalb habe
> ich mir überlegt, dass man zeigen soll, dass h= g [mm]\circ[/mm] f
> isomorph sind, also linear und bijektiv ist. Ist das die
> richtige Vorgehensweise?
Ja, teilweise. Die Vorgehensweise ist schon richtig. Aber Du hast hier eine Gleichheit von Mengen zu zeigen. Das machst Du am besten mit doppelter Inklusion, denn wenn mans genau nimmt zeigst Du mit deiner Vorgehensweise nur
[mm]\{g \circ f | f: V \to W isomorph, g: W \to V
isomorph \} \subset Aut(V)[/mm]
Natürlich ist der umgekehrte Schritt auch nicht schwer.
Zeigen wir nun aber die erste Inklusion.
(ich werde statt [mm]g \circ f[/mm] jetzt [mm]g*f[/mm] schreiben, was genau dasselbe bedeutet, aber wesentlich viel Schreibarbeit spart.)
Dann ist, wie Du schon richtig bemerkt hast, zu zeigen, daß
1) gf: V -> V,
2) gf injektiv
3) gf surjektiv
4) gf linear ist.
1) ziemlich einfach, denn: f:V -> W, g: W -> V, also gf: V -> V.
2) gf ist injektiv, denn, falls (gf)(x)=(gf)(y)
=> g(f(x))=g(f(y))
=> da g injektiv: f(x)=f(y)
=> da f injektiv: x=y, also gf injektiv.
3) gf ist surjektiv, denn:
da g bijektiv ist, ex. zu y[mm]\in[/mm]V ein endeutiges [mm]g^{-1}(y) \in W[/mm] mit [mm]g(g^{-1}(y))=y[/mm].
Da f bijektiv, also insbes. surjektiv ist, ex. ein [mm]z \in V[/mm] dergestalt, daß [mm]f(z) = g^{-1}(y)[/mm], also ex. zu jedem [mm]y \in V[/mm] ein [mm]z=f^{-1}(g^{-1}(y)) \in V[/mm] mit [mm](gf)(z)=g(f(f^{-1}(g^{-1}(y))))= g(g^{-1}(y))=y[/mm], also gf bijektiv.
Bleibt also zu zeigen, daß
3) gf linear: (seien x,y[mm]\in[/mm]V, k[mm]\in[/mm]K)
(gf)(x)+(gf)(y) = g(f(x))+g(f(y)) = g(f(x)+f(y)), da g linear
= g(f(x+y)) = (gf)(x+y), da f linear.
k(gf)(x)=kg(f(x))= g(kf(x)), da g linear
= g(f(kx)) = (gf)(kx), da f linear.
So. Nun haben wir gezeigt, daß für alle Isomorphismen f:V -> W, g: W -> V, gf ein Automorphismus ist, also [mm]\{g \circ f | f: V \to W isomorph, g: W \to V
isomorph \} \subset Aut(V)[/mm] gilt.
Die andere Richtung, also [mm]Aut(V) \subset \{g \circ f | f: V \to W isomorph, g: W \to V isomorph \}[/mm] ist aber auch nicht schwer, denn: sei [mm]g \in Aut(V)[/mm]. Es gilt: auch [mm]id_V \in Aut(V)[/mm], und damit gilt aber auch [mm]g*id_V \in \{g \circ f | f: V \to W isomorph, g: W \to V isomorph \}[/mm], also [mm]Aut(V) = \subset \{g \circ f | f: V \to W isomorph, g: W \to V isomorph \}[/mm]
[mm]\Rightarrow Aut(V) \subset \{g \circ f | f: V \to W isomorph, g: W \to V isomorph \}[/mm]. q.e.d.
Der letzte Schritt ist eigentlich rein formaler Natur, ich wollte es aber ganz ausführlich machen.
Hoffe, ich konnte helfen,
Gruß,
Christian
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