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| Aufgabe | Berechnen Sie die maximale Lösung von:
[mm] x'=y+x*(1-x^2-y^2) [/mm]
[mm] y'=-x+y*(1-x^2-y^2) [/mm]
[mm] x(0)=0 [/mm]
[mm] y(0)=2 [/mm] |
Das ist natürlich als ein System mit den Anfangswerten zu verstehen. Nur weiß ich gerade nicht, wie ich die geschweifte Klammer darum mache.
Mein Ansatz ist:
[mm] x'=f_{x}(x,y) [/mm]
[mm] y'=f_{y}(x,y) [/mm]
Ich bilde den Quotienten aus beiden:
[mm] z'=\bruch{f_{y}(x,z)}{f_{x}(x,z)}=\bruch{-x+z-zx^2-z^3}{z+x-x^3-xz^2}=-\bruch{x-z+zx^2+z^3}{z+x-x^3-xz^2} [/mm]
Die Variablen kann ich leider nicht trennen, deswegen habe ich mir gedacht, dass das eine Exakte Gleichung sein könnte.
Den Zähler nach x abgeleitet ergibt 1+2zx und den Nenner nach z abgeleitet ergibt 1-2zx. Leider stimmen die Ableitungen nicht überein.
Habt ihr Ideen?
Danke
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Hallo Unknown-Person,
> Berechnen Sie die maximale Lösung von:
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> [mm]x'=y+x*(1-x^2-y^2)[/mm]
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> [mm]y'=-x+y*(1-x^2-y^2)[/mm]
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> [mm]x(0)=0[/mm]
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> [mm]y(0)=2[/mm]
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> Das ist natürlich als ein System mit den Anfangswerten zu
> verstehen. Nur weiß ich gerade nicht, wie ich die
> geschweifte Klammer darum mache.
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> Mein Ansatz ist:
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> [mm]x'=f_{x}(x,y)[/mm]
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> [mm]y'=f_{y}(x,y)[/mm]
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> Ich bilde den Quotienten aus beiden:
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> [mm]z'=\bruch{f_{y}(x,z)}{f_{x}(x,z)}=\bruch{-x+z-zx^2-z^3}{z+x-x^3-xz^2}=-\bruch{x-z+zx^2+z^3}{z+x-x^3-xz^2}[/mm]
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> Die Variablen kann ich leider nicht trennen, deswegen habe
> ich mir gedacht, dass das eine Exakte Gleichung sein
> könnte.
> Den Zähler nach x abgeleitet ergibt 1+2zx und den Nenner
> nach z abgeleitet ergibt 1-2zx. Leider stimmen die
> Ableitungen nicht überein.
>
Um das System von DGLn zu lösen, setze zunächst:
[mm]x\left(t\right)=r\left(t}\right)*\cos\left(\ \varphi\left(t\right) \ \right)[/mm]
[mm]y\left(t\right)=r\left(t}\right)*\sin\left(\ \varphi\left(t\right) \ \right)[/mm]
Differenziere dies und setze die Ergbenisse dann in das System ein,
löse dann nach [mm]\dot{r}[/mm] und [mm]\dot{\varphi}[/mm] auf.
> Habt ihr Ideen?
> Danke
Gruss
MathePower
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