Autos auf Parkplätzen parken < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:00 Mo 24.09.2007 | | Autor: | dexter |
| Aufgabe | Auf dem Kundenparkplatz einer Firma können 20 Fahrzeuge parken. Auf wie vielen Arten können Parkplätze besetzt werden, wenn...
a) 16, b) 20, c) 30 Kunden gleichzeitig kommen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hola!
Ich hab ein Problem damit zu bestimmen, was k und was n ist...
Es wird ja gesagt k [mm] \le [/mm] n ... aber wie is das bei dieser Aufgabe???
Ich fange mit meinem Lösungsansatz bei c) an, weil mir das am leichtesten fällt:
Modellieren ist in der Stochastik sehr wichtig, deswegen habe ich versucht das Problem auf ein mir bekanntes zurückzuführen. Die 30 Kunden fasse ich also als n = 30 Kugeln in einem Behältnis auf und ziehe k = 20 Stück... die Frage is ja dann, wie viele Möglichkeiten aus 30 Kugeln, sie auf 20 "Plätzen" anzuordnen.
- die Reihenfolge ist wichtig
- ohne zurücklegen
also wende ich n!/(n-k)! an und bekomme 7,309657733*10^25 raus.
bei b)
20 auf 20 anordnen dürfte ja 20! sein...
aber jetzt bei a)
wenn ich 16 Autos auf 20 Parkplätzen parken lasse, dann bleiben 4 leer.
Wenn ich mir jetzt wieder mein Kugel-Model ansehe, dann habe ich n = 16 Kugeln und k = 20 Autos ... aber da k [mm] \le [/mm] n sein soll bin ich verwirrt.
Wie soll man denn das berechnen? Die leeren Parkplätze spielen doch auch eine Rolle, was die Möglichkeiten der Verteilung angeht...
und das bringt mich auch dazu an meinen anderen Lösungen zu zweifeln... Ich habe auch im Bereich VorWissen geschaut, aber da is dieses Problem nicht mit zu erklären.
Liebe Grüße dex
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Hallo dexter!
> Auf dem Kundenparkplatz einer Firma können 20 Fahrzeuge
> parken. Auf wie vielen Arten können Parkplätze besetzt
> werden, wenn...
> a) 16, b) 20, c) 30 Kunden gleichzeitig kommen.
> Ich fange mit meinem Lösungsansatz bei c) an, weil mir das
> am leichtesten fällt:
Komisch - ich finde den ersten am einfachsten. 
> also wende ich n!/(n-k)! an und bekomme 7,309657733*10^25
> raus.
>
> bei b)
>
> 20 auf 20 anordnen dürfte ja 20! sein...
Meiner Meinung nach sind diese beiden Aufgaben richtig gelöst. Um dir a) zu erklären, betrachten wir mal b) und überlegen uns, wie man auf die 20! kommt.
Möglichkeit 1:
Das erste Auto, das ankommt, hat 20 Möglichkeiten, welchen Parkplatz es nimmt. Dem zweiten Auto bleiben nur noch 19 Möglichkeiten übrig und so weiter. Macht also 20*19*...*1=20!
Möglichkeit 2:
Angenommen, die Parkplätze sind durchnummiert. Dann kann auf Parkplatz 1 jedes der 20 Autos parken, es gibt also 20 Möglichkeiten für Parkplatz 1. Danach bleiben nur noch 19 Autos übrig, deswegen gibt es für Parkplatz 2 nur noch 19 Möglichkeiten, für Parkplatz 3 dann nur noch 18 usw. Macht ebenfalls wieder 20!.
Mit welcher der beiden Möglichkeiten du b) löst, ist also egal - es kommt beide Male das Gleiche raus. Da - wie du richtig gesagt hast - n immer größer sein muss als k, musst du Teil a) aber mit der anderen Möglichkeit lösen, als du Teil c) gelöst hast. Schaffst du das nun? (Also, bei a) und c) kann man es natürlich nicht so schön einfach herleiten, wie bei b) mit der Fakultät, aber im Prinzip gibt es da auch zwei Betrachtungsweisen.)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 24.09.2007 | | Autor: | dexter |
> > Auf dem Kundenparkplatz einer Firma können 20 Fahrzeuge
> > parken. Auf wie vielen Arten können Parkplätze besetzt
> > werden, wenn...
> > a) 16, b) 20, c) 30 Kunden gleichzeitig kommen.
> Möglichkeit 1:
> Das erste Auto, das ankommt, hat 20 Möglichkeiten, welchen
> Parkplatz es nimmt. Dem zweiten Auto bleiben nur noch 19
> Möglichkeiten übrig und so weiter. Macht also
> 20*19*...*1=20!
>
> Möglichkeit 2:
> Angenommen, die Parkplätze sind durchnummiert. Dann kann
> auf Parkplatz 1 jedes der 20 Autos parken, es gibt also 20
> Möglichkeiten für Parkplatz 1. Danach bleiben nur noch 19
> Autos übrig, deswegen gibt es für Parkplatz 2 nur noch 19
> Möglichkeiten, für Parkplatz 3 dann nur noch 18 usw. Macht
> ebenfalls wieder 20!.
Das hilft mir schon weiter, denke ich.
Also wäre das Ergebnis für a) 20*19*18 ... *5
Wenn das 16. Auto auf den Parkplatz fährt, dann sind 15 Parkplätze schon voll. D.h. dass noch 5 frei sind.
Also gilt auch wieder n!/(n-k)! und das ergebnis dürfte 1,01370917*10^17 sein. Können die Leute, die die Aufgaben in den Lehrbüchern machen, nicht mal anschaulichere Zahlen als Ergebnisse einführen?
n = 20 (Parkplätze)
k = 16 (Kunden)
Also wechselt von a) nach c) die definition/deklaration von n und k... damit hab ich nicht gerechnet...
Is das alles so richtig?
mfg dex
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Hallo dexter!
> > > Auf dem Kundenparkplatz einer Firma können 20 Fahrzeuge
> > > parken. Auf wie vielen Arten können Parkplätze besetzt
> > > werden, wenn...
> > > a) 16, b) 20, c) 30 Kunden gleichzeitig kommen.
>
> > Möglichkeit 1:
> > Das erste Auto, das ankommt, hat 20 Möglichkeiten,
> welchen
> > Parkplatz es nimmt. Dem zweiten Auto bleiben nur noch 19
> > Möglichkeiten übrig und so weiter. Macht also
> > 20*19*...*1=20!
> >
> > Möglichkeit 2:
> > Angenommen, die Parkplätze sind durchnummiert. Dann
> kann
> > auf Parkplatz 1 jedes der 20 Autos parken, es gibt also 20
> > Möglichkeiten für Parkplatz 1. Danach bleiben nur noch 19
> > Autos übrig, deswegen gibt es für Parkplatz 2 nur noch 19
> > Möglichkeiten, für Parkplatz 3 dann nur noch 18 usw. Macht
> > ebenfalls wieder 20!.
>
> Das hilft mir schon weiter, denke ich.
> Also wäre das Ergebnis für a) 20*19*18 ... *5
> Wenn das 16. Auto auf den Parkplatz fährt, dann sind 15
> Parkplätze schon voll. D.h. dass noch 5 frei sind.
> Also gilt auch wieder n!/(n-k)! und das ergebnis dürfte
> 1,01370917*10^17 sein. Können die Leute, die die Aufgaben
> in den Lehrbüchern machen, nicht mal anschaulichere Zahlen
> als Ergebnisse einführen?
>
> n = 20 (Parkplätze)
> k = 16 (Kunden)
>
> Also wechselt von a) nach c) die definition/deklaration von
> n und k... damit hab ich nicht gerechnet...
>
> Is das alles so richtig?
Scheint so. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Wobei ich hier erstmal eine Weile überlegen musste, denn die Formel [mm] \frac{n!}{(n-k)!} [/mm] kenne ich nicht - wofür genau steht die? Ich hätte es mit [mm] \vektor{n\\k} [/mm] gemacht, was allerdings zu einem anderen Ergebnis geführt hat (wovon ich aber zuerst dachte, dass es richtig sei). Aber dabei wird ja nur berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass bestimmte Parkplätze belegt werden, nicht, mit welchem Auto sie belegt werden...
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Landgraf |
Ergänzenderweise kann man sich vorstellen, dass die vier leeren Parkplätze aus den 20 gezogen werden. Für die Autos sind dann wieder 16 Permutationen möglich.
[mm] {20 \choose 4} * 16! [/mm]
Das Ergebnis ist natürlich das selbe...
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