Axiome algebraische Strukturen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:50 Do 16.09.2004 | | Autor: | Solo |
Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
[Hochschule Lineare Algebra, Oberstufe Lineare Algebra]
Hallo,
leider geht mein mathematisches Verständnis nicht sehr weit über das Finden und Anwenden von Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme hinaus.
Welche Axiome zu bestimmten algebraischen Strukturen nachgewiesen werden müssen ist mir weitestgehen bekannt (sollte trotzdem jemand eine tolle Übersicht besitzen wäre ich auch sehr dankbar!).
Was ich nun suche sind Beweisschemata mit denen man die einzelnen Axiome (je nach dem was für die gegebene algebraische Struktur gerade gebraucht wird) zeigen kann.
Im einzelnen sind das ja (ich hoffe ich vergesse keine):
1. Gesetze der Addition
- Assoziativität:
[mm] (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z) [/mm]
- Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes (0):
[mm] x \oplus 0 = x = 0 \oplus x [/mm]
- Esistenz un Eindeutigkeit inverser Elemente (-x):
[mm] x \oplus (-x) = 0 = (-x) \oplus x [/mm]
- Kommutativität:
[mm] x \oplus y = y \oplus x [/mm]
2. Gesetze der Multiplikation
- Assoziativität:
[mm] x \odot (y \odot z) = (x \odot y) \odot z [/mm]
- Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes (1):
[mm] 1 \odot x = x = x \odot 1 [/mm]
- Existenz und Eindeutigkeit inverser Elemente ([mm] x^{-1} [/mm]):
[mm] x \odot x^{-1} = 1 = x^{-1} \odot x [/mm]
- Kommutativität:
[mm] x \odot y = y \odot x [/mm]
3. Distributivgesetz
[mm] x \odot (y \oplus z) = (x \odot y) \oplus (x \odot z) [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Do 16.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Solo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Was genau stellst du dir unter Beweisschemata vor?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:42 Do 16.09.2004 | | Autor: | Solo |
> Hallo Solo!
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> Was genau stellst du dir unter Beweisschemata vor?
>
> Liebe Grüße
> Stefan
>
Hallo Stefan!
Danke für das Willkommen!
Unter einem Beweisschemata stelle ich mir eine Vorgehensweise für einen Aufgabentyp vor.
Hier z.B. wäre der Idealfall das ich in der Klausur erkenne, dass es um eine Algebraische Struktur geht und man eben zeigen soll dass dies und jenes gilt.
Ist nach der Existenz des neutralen Elementes gefragt, würde ich gerne ein Schema haben wie man die Existenz eines neutralen Elementes zeigt. Gleiches für Distributivität oder Kommutativität, etc.
Ganz Informatikergetreu eben einen Algorithmus der einen Aufgabentyp als Eingabe hat und ich dann weiß was ich zu tun habe und (am liebsten *g*) nur noch ein bisschen Transferarbeit leisten muss.
Hoffe das ist ein bisschen verständlich ... ich tu mir in Mathe nur leider so unendlich schwer.
So long
Solo
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Gruß!
Also, bei den meisten dieser Strukturen, die Du angesprochen hast, gilt ein Spruch von Herrn Waldhausen (einer meiner Profs): "Ausrechnen ist der Weg zur Wahrheit!"
Wenn Du zum Beispiel den Schiefkörper der Quaternionen gegeben hast und nachrechnen sollst, dass es sich um einen eben solchen (also eine Divisionsalgebra) handelt, dann nimmst Du Dir 3 Elemente beliebiger Natur und rechnest $(a [mm] \cdot [/mm] b) [mm] \cdot [/mm] c$ und $a [mm] \cdot [/mm] (b [mm] \cdot [/mm] c)$ getrennt voneinander aus - am Ende sollte das Gleiche rauskommen.
Ebenso bei Kommutativität (die ja in diesem Beispiel nicht gegeben ist bzw. nachzurechnen wäre).
Das Problem ist, dass es selten einen echten "Algorithmus" gibt, den man anwenden kann - vieles läuft darauf hinaus, dass man "sieht", welchen Trick man anwenden muß. Das ist zu 95% Erfahrung und zu 5% Intuition (etwa), also hilft da nur üben, üben, üben und aufmerksam andere Beweise lesen, um die eigene Trickkiste zu erweitern.
So ein paar Dinge sind aber immer gleich. Man soll zeigen, dass eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen injektiv ist? Man nehme sich ein beliebiges Element aus dem Kern und zeige, dass es automatisch gleich 0 ist. Man soll zeigen, dass 2 Mengen gleich sind? Man zeige beide Inklusionen. Naja, und so weiter.
Ich hoffe das hilft wenigstens ein bißchen...
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Do 16.09.2004 | | Autor: | Matti66 |
Hallo!
Allgemeingültige Schemata gibt es nicht. Je nachdem welche algebraische Struktur vorliegt (Gruppe, Ring, Körper) müssen die einzelnen Axiome angewandt werden, um zu sehen, ob sie sich lösen lassen.
Das muss man dann jeweils für jedes Element tun.
Insoweit sind alle Axiome aufgeführt, nur muss man sie nicht immer alle prüfen, da nicht alle bei jeder Struktur vorliegt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Do 16.09.2004 | | Autor: | Solo |
Hallo,
ja genau das. Soweit ist mir das klar. Ich möchte jetzt wissen WIE ich die einzelnen Axiome jeweils nachweisen kann.
Also wie beseise ich Kommutativität, Distributivität, Existenz des neutr. Elementes ??!
Vielen Dank
Solo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Do 16.09.2004 | | Autor: | Matti66 |
Vielleicht wird die ganze Sache nicht so abstrakt, wenn du mal ein Beispiel vorstellst.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Do 16.09.2004 | | Autor: | Solo |
Hallo,
Eine mögliche Aufgabe wäre:
Sei E eine Erzeugendenmenge des Monoids (M, *, e) so, dass a*b = b*a für alle a, b in E. Zeigen Sie, dass das Monoid kommutativ ist.
Jetzt suche ich mir ja die Axiome raus die für einen kommutativen Monoid gelten müssen. Dann beweise ich die (hier ganz besonders eben die Kommutativität).
Ich würde jetzt gerne zu jedem der möglichen Axiome wissen wie ich es beweisen kann. Wenn es geht eben möglichst nicht an einem Beispiel aufgehängt. Sondern einfach für die Zukunft "ah ich soll Distributivität zeigen das macht man so und so" (wenn es da ganz allgemeine Vorgehensweisen gibt).
Vielen Dank
Solo
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