Axiome der Mengenlehre < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe | | Beweisen Sie mit den Axiomen der Mengenlehre, daß es zu jeder Menge a eine Menge {a} gibt, die genau a zum Element hat. |
Hi,
kann ich mir nicht den Trick zu Nutze machen, dass ich aufs Existensaxiom zurückgreife?
Sprich [mm] \exists [/mm] {a}: ({a}=a)?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage, in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Fr 23.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a soll doch eine Menge sein. Bsp> a={1,2,3} vielleicht haettest du besser A geschrieben, damit du es nicht mit einer Zahl oder dem Element einer Menge [mm] a\in [/mm] A verwechselst?
jetzt sollst du zeigen, das es eine Menge M gibt, mit einem Element naemlich M={a}={{1,2,3}}
und das jetzt allgemein aus den axiomen. Wann gibts denn eine Menge?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Ersty |
meines Erachtens dann, wenn gilt:
[mm] \exists [/mm] x : (x=x)
sicher bin ich mir aber nicht, da ich mir deine Frage auch schon gestellt habe....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Fr 23.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du jetzt schreibst, was hat das mit den mengen zu tun?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:31 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Ersty |
naja du hast gefragt, wann eine Menge existiert
und die Menge x existiert dann, wenn gilt x=x
allerdings verstehe ich den sinn der Aufgabe immer noch nicht....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 25.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Beweisen Sie mit den Axiomen der Mengenlehre, daß es zu
> jeder Menge a eine Menge {a} gibt, die genau a zum Element
> hat.
> Hi,
> kann ich mir nicht den Trick zu Nutze machen, dass ich
> aufs Existensaxiom zurückgreife?
> Sprich [mm]\exists[/mm] {a}: ({a}=a)?
>
> Vielen Dank!
Hallo,
ich denke, du solltest das Paarmengenaxiom zu
Hilfe nehmen. Dieses sagt ja:
Für alle a,b gibt es eine Menge [mm] c=\{a,b\} [/mm] .
Wenn man nun b=a nimmt, so muss es also eine
Menge $\ [mm] c=\{a,b\}$ [/mm] mit b=a geben. Nach dem Exten-
sionalitätsaxiom folgt dann $\ [mm] c=\{a,b\}=\{a\}$.
[/mm]
Das ist die gewünschte Menge.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Ersty |
die Idee finde ich gut, ginge es auch so:
Sei a eine Menge. Dann gilt nach Axiom 6 (= ist das Potenzmengenaxiom):
Die Potenzmenge [mm] \P [/mm] (a) ist ebenfalls eine Menge.
Ein Element von [mm] \P [/mm] (a) ist a selbst, da a Teilmenge von a ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] {a} [mm] \in \P [/mm] (a).
Nach Axiom 3 (das Axiom der Mengeneigenschaft) gilt:
{X [mm] \in \P [/mm] (a) | X = {a} } ist eine Menge. Es gilt dann ferner:
{X [mm] \in \P [/mm] (a) | X = {a} } = {a}
q.e.d.
Ist das korrekt?
Hier Axiom 3:
Ist A eine Menge und p(x) eine Mengeneigenschaft, dann
gibt es eine Menge
{ a [mm] \in [/mm] A | p(a) },
die als Elemente genau die Mengen enthält, die Element
von A sind und die Eigenschaft p(x) haben.
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> die Idee finde ich gut, ginge es auch so:
>
> Sei a eine Menge. Dann gilt nach Axiom 6 (= ist das
> Potenzmengenaxiom):
> Die Potenzmenge P(a) ist ebenfalls eine Menge.
> Ein Element von P(a) ist a selbst, da a Teilmenge von a
> ist.
> [mm] $\Rightarrow\ \{a\} \in [/mm] P(a)$.
> Nach Axiom 3 (das Axiom der Mengeneigenschaft) gilt:
> [mm] $\{X \in P(a)\ |\ X = \{a\} \}$ [/mm] ist eine Menge. Es gilt dann
> ferner:
> [mm] $\{X\in P(a)\ |\ X = \{a\} \}$ [/mm] = {a}
> q.e.d.
>
> Ist das korrekt?
Klar, du hast Recht.
Eigentlich dachte ich auch zuerst an die Potenzmenge
und habe diesen Gedanken dann durch den "beschei-
deneren" Weg mit der Paarmenge ersetzt.
>
> Hier Axiom 3:
> Ist A eine Menge und p(x) eine Mengeneigenschaft, dann
> gibt es eine Menge
> [mm] $\{ a \in A\ |\ p(a) \}$,
[/mm]
> die als Elemente genau die Mengen enthält, die Element
> von A sind und die Eigenschaft p(x) haben.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Ersty |
das heißt der Weg mit der Potenzmenge ist der bessere Weg?
LG und vielen Dank für deine guten Tipps und die schnellen Antworten! :)
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> das heißt der Weg mit der Potenzmenge ist der bessere Weg?
hier gibt es einmal kein "besser" oder "schlechter" ...
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 So 25.10.2009 | | Autor: | xoxo |
die aufgabe sagt ja, dass die menge {a} GENAU a zum element haben soll. ist es nicht so, dass die potenzmenge auch noch mehr elemente haben kann? oder bin ich grad voll aufm falschen dampfer...?
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> die aufgabe sagt ja, dass die menge {a} GENAU a zum element
> haben soll. ist es nicht so, dass die potenzmenge auch noch
> mehr elemente haben kann? oder bin ich grad voll aufm
> falschen dampfer...?
Hallo xoxo,
das ist hier kein Problem, weil man noch andere
Axiome hat, mit denen man aus der (meistens
viel zu großen) Potenzmenge die überzähligen
Elemente wieder rausschmeißen kann.
LG Al-Chw.
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